Алгебра ва сонлар назарияси

Nazorat topshiriqlari

1. 
   Evklid fazosida chiziqli operator qanday ko`rinishda bo`lishini izohlang.
   
2. 
   Qaysi holatda operator ga qo`shma deyiladi.
   

3. operatorning o`z-o`ziga qo`shma bo`lish shartini ayting va izohlang.
4.Unitar fazoda o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan operator haqida teoremani izohlang.
2-savol bo`yicha dars maqsadi
Unitar va ortogonal operatorni o`rgatish.
Identiv o`quv maqsadlari

1. 
   Unitar operatorni va uning xossasini bilib oladi.
   
2. 
   Ortogonal operator va uning xossasini o`zlashtirib oladi.
   

2-savol bayoni
Agar R fazoda qaralayotgan sonlar kompleks sonlar, u holda Evklid fazo unitar fazo deyiladi.
Faraz qilaylik, Evklid fazo bo`lsin. Bu fazoda chiziqli operator berilgan bo`lsin.Bu operatorning qo`shmasini deb belgilasak. Agar operator
(1)
shartni qanoatlantirsa, u holda bu operator unitar operator deyiladi . (Bunda birlik operator , ) quyida keltirilgan teorema har qanday operatorning unitar bo`lish va bo`lmasligini ko`rsatadi.
Teorema. (asosiy) Biror chiziqli operator unitar bo`lishi uchun

shart bajarilishi zarur va kifoya. ( isboti quyidagiga o`xshash)
TEOREMA . Biror operator Evklid fazosida unitar bo`lishi uchun ixtiyoriy x va u vektorlar berilganda .
(2)
shart bajarilishi zarur va kifoyadir. ( -skalyar ko`paytma)
Isbot. 1. Zaruriy sharti , faraz qilamiz unitar bo`lsin, ya’ni (1) shart bajarilsin, u holda qo’shma operator ta’rifiga asosan

2. Kifoyalik sharti , faraz qilaylik, (2) shart bajarilsin.


,
Demak , bu unitar operator .
Endi bu teoremadan kelib chiqadigan natijalarni ko`raylik, (2) da desak
.
Teorema 3 . Evklid fazosida unitar bo`lgan operator uchun matrisasi dioganal ko`rinishda bo`lgan, ya’ni
, (5)
(6)
ortogonal bazis mavjuddir, ya’ni (6) bazis .

Isbot. unitar operator bo`lsin. Bu holda avvalgi teoremada hosil qilingan ta juft- jufti bilan ortogonal normalangan xos vektorlar izlanmoqda bo`lgan bazisni tashkil qiladi. Haqiqatan




va demak , bazisda u operatorning matrisasi (5) ko`rinishda bo`ladi . Teorema 2 asosan sonlar modullariga ko`ra 1 ga tengdir . Teorema isbot bo`ldi .
Ta’rif. Agar

shart bajarilsa ,u holda A operator normal chiziqli operator deyiladi .
Unitar operator ham o’z –o’ziga qo’shma operator ham normal operatorning hususiy holi ekanligi ravshandir.
Ta’rif. Haqiqiy Evklid fazosining A operatori uchun AA*=E shart bajarilsa, u holda A operator ortogonal operator deyiladi.
Teorema. haqiqIy Evklid fazosida A operator ortogonal bo`lishi uchun
(7)
shart bajarilishi zarur va kifoyadir. (isbot teorema 1 kabi)
(Bu ortogonal operatorlar uchun yuqorida keltirilgan teoremalar o’rinlidir. )
quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.
Teorema 4. A operator ortogonal bo`lishi uchun (haqiqIy Evklid fazosida ) ortogonal bo`lgan bazis , ya’ni
vektorlardan (8)
operator tufayli hosil bo`lgan.
vektorlar (9)
ortogonal bazis bo`lishi zarur va kifoyadir.
O’z-o’ziga qo’shma bo`lgan operatorning matrisasi simmetrik matrisadan iborat ekanligi sizga ma’lum, ya’ni

Ta’rif. O’z-o’ziga qo’shma bo`lgan operatorlar simmetrik operatorlar deyiladi.

Endi har qanday operatorni ikkita operatorlar ko`paytmasiga ajratishni ko`rib o’tamiz , buning uchun avvalo quyidagi tushunchani kiritamiz.
Ta’rif. O’z-o’ziga qo’ushma bo`lgan H operator
(10)
shartni qanoatlantirsa , u holda bunday operator musbat operator deyiladi.
Teorema 5. Har qanday maxsusmas A operatorni
(11)
ko`rinishda tasvirlash mumkin. Bu yerda H-musbat aniqlangan operator,
U-unitar operator. Bu haqda quyidagiga qarang.
A maxsusmas operator , ya’ni A operator matrisasining diterminanti noldan farqli deyiladi .

Bu yuqoridagi teorema kompleks sonni trigonometrik songa keltirishga o`xshaydi.

z-haqiqiy son