Алгебра ва сонлар назарияси

Teorema. A chiziqli operatorning o`z-o`ziga qo`shma bo`lishi uchun (Ax,y) ifoda Ermitning bichiziqli formasidan iborat bo`lishi zarur va kifoya.
Isbot. Haqiqatan ning Ermit shakl(forma)si bo`lishi
(a)
Ekanini bildiradi. almashtirishning o`z-o`ziga qo`shma bo`lishi esa
(b)
ekanini bildiradi. (a) va (b) tengliklarning bir- biriga ekvivalent ekanligini ko’rish oson. Har qanday kompleks soni ko’rinishda tasvirlasa bo`ladi. Bunda va haqiqiy sonlar.
Teorema. Har qanday chiziqli operatorni
(12)
ko’rinishda tasvir etishi mumkin. Bunda va lar o`z-o`ziga qo`shma operatorlar
Isbot . Haqiqatan Endi faraz etilsa,
va
ya’ni va lar o`z-o`ziga qo`shma almashtirishlardir.
Teorema. va o`z- o`ziga qo`shma chiziqli operatorlar bo`lsin. operatorning ham o`z-o`ziga qo`shma bo`lishi uchun
(13)
bo`lishi, ya’ni va operatorlaro`rin almashuvchi bo`lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Berilgan va
Biz (14)
tenglik bajarilishining zarur va yetarli shartini izlamoqdamiz. Lekin

Demak, faqat bo`lgan holdagina (14) tenglik o’rinli bo`ladi. T eorema isbot bo`ldi.
Ta’rif. Agar biror U operator uchun UU*=U*U=E (15) shart bajarilsa, u holda bunday operator unitar operator deyiladi.
Ta’rif. Agar A operator uchun
(16)
shart bajarilsa, u holda bu operator narmal operator deyiladi.
Teorema . O`z- o`ziga qo`shma bo`lgan operatorlarning maxsus sonlari haqiqiy sondan iborat.
Isbot O`z-o`ziga qo`shma operator uchun maxsus vektor va maxsus qiymat bo`lsin. U holda tenglikni nazarda tutib, ushbuga ega bo`lamiz.
yoki bundan
so`nggi tenglikning ikki tomoni ga qisqartirsak ekani kelib chiqadi. Bu esa ning haqiqiy son ekanini ko`rsatadi.
Teorema. O`z- o`ziga qo`shma bo`lgan operatorning har xil maxsus sonlarga mos keluvchi maxsus vektorlar o`zaro ortogonaldir. Operatorning har xil maxsus sonlari uning operatorlari ham deyiladi.
Isbot. , va bo`lsin u holda
yoki
bundan bo`lgani uchun