Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Тариф-5. нинг ўлчами хос қийматнинг геометрик карралиги дейилади.
Тариф-6. кўпҳад илдизининг карралиги хос қийматнинг алгебраик карралиги дейилади.
Теорема-6. хос қийматнинг геометрик карралиги унинг алгебраик карралигидан катта эмас.
Исбот. ва сонлар мос равишда хос қийматнинг геометрик ва алгебраик карраликлари бўлсин. Демак , шунинг учун да базис мавжуд. Уни нинг базисигача тўлдирамиз. Ушбу базисда операторимизнинг матрицаси қуйидаги кўринишга эга
.
Характеристик кўпҳад қуйидаги кўринишга эга . Шунинг учун характеристик кўпҳад га қолдиқсиз бўлинади. Демак . Теорема исботланди.
кўпҳад берилган бўлсин.
Таъриф-7. кўпҳаднинг оператордаги қиймати деб қуйидаги операторга айтилади .
Теорема-7. (Гамильтон-Кэли) ўлчамли чизиқли фазодаги ихтиёрий чизиқли оператор ўзининг характеристик тенгламасининг ечими бўлади.
Исбот. кўпҳад чизиқли операторнинг характеристик кўпҳади бўлсин. орқали матрицага қўшилган матрицани белгилаймиз, яъни . Охирги тенгликни
(1)
кўринишида ёзиш мумкин. Таърифига асосан матрицани кўринишида ёзиш мумкин. (1) тенгликка асосан

тенгликга эга бўламиз. Бир хил даражалар олдидаги матрицаларни тенглаймиз:
.
Биринчи тенгликни га, иккинчи тенгликни га, учинчи тенгликни га ва шу қонуният буйича давом қилдириб охирги тенгликни ўнг тарафдан га кўпайтириб барча тенгликларни кўшамиз. Натижада
,
тенгликга эга бўламиз. Шундай қилиб . Бу эса эканлигини билдиради. Теорема исботланди.
Назарий саволлар.
1. Чизиқли операторнинг диагоналлашувчилик критерияси.
2. сони чизиқли операторнинг хос қиймати бўлишлик критерияси.
3. Турли хос қийматларга мос келувчи хос векторларнинг ортогонал эканлигини курсатинг.
4. Хос қийматнинг геометрик карралиги унинг алгебраик карралигидан катта бўлмаслигини курсатинг.
5. Гамильтон-Кэли теоремасини исботланг.