Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Таъриф-2. чизиқли операторнинг детерминанти деб унинг матрицасининг детерминантига айтилади.
Изох. Ушбу таъриф тўғри, чунки чизиқли операторнинг матрицасининг детерминанти базис танлашга боғлик эмас. Ҳақиқатан ҳам, олдинги теоремага асосан
.
Таъриф-3. чизиқли операторнинг ранги деб унинг матрицасининг рангига айтилади.
Изох. Ушбу таъриф тўғри, чунки чизиқли операторнинг матрицасининг ранги базис танлашга боғлик эмас. Ҳақиқатан ҳам, олдинги теоремага асосан . Бу ердан матрицалар кўпайтмасининг ранги ҳақидаги теоремага асосан . Иккинчи тарафдан тенгликка асосан . Демак .
Таъриф-4. чизиқли операторнинг детерминанти нолдан фарқли бўлса бу оператор махсусмас дейилади.
Таъриф-5. Агар акслантириш (чизиқли бўлиши шарт эмас) учун шундай акслантириш мавжуд бўлсаки, fg=gf=e – бирлик (айний) акслантириш бўлса, g акслантириш f га тескари деб аталади.
Агар f акслантириш учун тескариси мавжуд бўлса, у ягона. Ҳақиқатан ҳам, иккита тескари акслантириш мавжуд бўлсин:
.
У ҳолда .
Иккинчи томондан . Демак, . Берилган f акслантиришга тескари g акслантириш кўринишда белгиланади. Агар f – чизиқли оператор бўлса, у ҳолда ҳам чизиқли. Ҳақиқатан хам, агар ихтиёрий вектор бўлса, f нинг тескариси мавжуд бўлгани учун шундай ягона векторлар мавжудки, . Бундан f чизиқли бўлгани учун .
Натижада
.
Шунга ўхшаш хосса исботланади.
Теорема-3. чизиқли оператор ўлчамли чизиқли фазода берилган бўлсин. Қуйидаги хоссалар тенг кучли:
1) - махсусмас.
2) - тескариланувчи.
3) ихтиерий базис учун унинг аксларидан тузилган тизим нинг базиси бўлади.
4) шундай базис мавжудки унинг учун аксларидан тузилган тизим нинг базиси бўлади.
5) (сюрективлик),
6) ,
7) - инъектив оператор.
Исбот. . - махсусмас бўлганлиги учун унинг базисдаги матрицасига тескари матрица мавжуд. базисда матрицага эга бўлган оператор операторга тескари бўлади. Яъни оператор тескариланувчи.
. тизим чизиқли эрклилигини кўрсатамиз. Бунинг учун қуйидаги чизиқли комбинацияни қараймиз
.
Бу тенгликни иккала тарафига ҳам чизиқли бўлган операторни қўлласак тенгликка эга бўламиз. тизим базис бўлгани учун тенгликка эга бўламиз.
. Хусусий ҳоли.
. .
. шунинг учун .
. бўлиб, тенглик бажарилсин. чизиқли бўлгани учун бўлади. Демак, . бўлгани учун бўлади ва шунинг учун . Инъективлик исботланди.
. -инъектив, демак . формулага асосан . Бу ердан , ёки . Матрицанинг тартиби бўлгани учун . Теорема исботланди.