Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Таъриф-1. Агар қуйидаги шартлар бажарилса, х,у,z,... элементларнинг V туплами чизиқли (аффин) фазо дейилади:
а) хар икки х ва у элементларга х ва у элементлар йиғиндиси деб аталадиган z элемент мос қилиб қўйилган; х ва у элементларнинг йиғиндиси х+у билан белгиланади;
б) бирор майдоннинг ҳар бир х элементи ва ҳар бир сон билан х элемент кўпайтмаси деб аталган х элемент мос қилиб қўйилган.
Бу амаллар қуйидаги талабларни (аксиомаларни) қаноатлантириши керак.
1. 1⁰ х+у=у+х (коммутативлик),
2⁰ (х+у)+z=x+(у+z) (ассоциативлик),
3⁰ Хар қандай х учун шундай 0 элемент мавжудки, х+0=х бўлади. 0 элемент ноль элемент дейилади.
4⁰ Хар қандай х учун –х билан белгиланадиган шундай элемент мавжудки,
х+(-х)=0 бўлади.
2. 1⁰
2⁰
3. 1⁰
2⁰
Биз қўшиш ҳамда сонга кўпайтириш амалларини қандай таърифланиши ҳақида гапирмаганимиз бежиз эмас. Биз бу амалларни фақат юқорида таърифланган аксиомаларга буйсунишларини талаб қиламиз ҳолос. Шунинг учун ҳар қачон юқорида қайд қилинган шартларни қаноатлантирувчи амаллар билан иш кўрар эканмиз, биз уларни қўшиш ва сонга кўпайтириш амаллари деб, элементлари устида бу амаллар бажарилган тўпламни эса чизиқли фазо деб хисоблашга ҳақлимиз. Юқорида келтирилган 1-3 мисоллар бу аксиомаларга бўйсунади.
Яна бир мисол кўриб чиқайлик;
4. Даражаси натурал n сондан ошмайдиган ва одатдагича қўшиш ва бирор сонга кўпайтириш амаллари бажариладиган ҳамма кўпхадлар тўплами чизиқли фазо ҳосил қилади.
Ёлғиз n-даражали кўпхадлар тўплами чизиқли фазо ташкил қилмайди, чунки n-даражали икки кўпхад йиғиндиси n дан пастроқ бўлиб чиқиши ҳам мумкин; масалан,
.
5. V фазонинг элементлари n-тартибли матрицалардан иборат. ва матрицалар йиғиндиси деб матрицага, матрица билан соннинг кўпайтмаси деб матрицага айтилади. Шунинг билан бирга, ноль элемент фақат ноллардан иборат матрица бўлади. Бу ерда чизиқли фазонинг ҳамма шартлари бажарилишини текшириб кўриш мумкин.
Чизиқли фазо элементларини биз векторлар деб атаймиз. Бу сўзнинг кўпинча тор маънода (1-мисолдаги каби) ишлатиши бизни чалғитмаслиги керак. Бу чизиқ билан боғлик бўлган геометрик тасаввурлар бир қанча натижаларни ойдинлаштиришга, баъзи ҳолларда эса бу натижаларни олдиндан кўра билишга ёрдам беради.
Агар чизиқли фазо таърифида қатнашаётган сонлар хақиқий бўлса, у ҳолда фазо хақиқий чизиқли фазо дейилади.
Биз ларни ихтиёрий F майдон элементлари деб умумийроқ фараз этишимиз мумкин. Бу ҳолда V фазо F майдондаги чизиқли фазо дейилади. Қуйида баён этиладиган тушунча ва теоремаларнинг кўпчилиги, жумладан, бу параграф мазмунининг ҳаммаси ихтиёрий майдондаги чизиқли фазалар учун ҳам бевосита тўғри бўлади.