Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Изох. Қисм фазоларнинг тўплам сифатидаги йиғиндиси умуман олганда қисм фазо бўлмайди.
Таъриф-2. Барча ушбу кўринишдаги йиғиндиларидан тузилган тўплам ва қисм фазоларнинг йиғиндиси деб айтилади ва кўринишда белгиланади.
Лемма-2. Қисм фазоларнинг йиғиндиси доим қисм фазо бўлади.
Исбот. Агар ва бўлса, эканлигидан

бўлиши келиб чикади. Лемма исботланди.
Теорема-2. Агар чизиқли фазо , ва чекли ўлчамли қисм фазолар бўлса ҳам чекли ўлчамли ва хамда

тенглик ўринли бўлади.
Исбот. қисм фазонинг базиси бўлсин. Ушбу базисни ва қисм фазоларнинг базисларигача тўлдириш мумкин. ва тизимлар мос равишда ва ларнинг базислари бўлсин. тизимни нинг базиси эканлигини кўрсатамиз. Бу векторлар чизиқли эркли. Ҳақиқатдан ҳам агар

бўлса,

тенглик ўринли бўлади. Бу тенгликнинг чап томони нинг вектори, ўнг томони нинг вектори бўлгани учун бу векторларнинг иккаласи ҳам қисм фазога тегишли бўлади. Шунинг учун
,
демак . Бу тенгликда тизимининг чизиқли эркли эканлигидан . Охирги муносабатлардан тенгликни оламиз. Бундан тизим чизиқли эрклили бўлгани учун

бўлади. Демак, тизим чизиқли эркли.
Энди вектор бу тизим орқали чизиқли ифодаланишини исботлаймиз. Ҳар бир вектор кўринишга эга. вектор тизим орқали ва вектор тизим орқали ифодаланади. Демак вектор тизим орқали чизиқли ифодаланади. Шундай қилиб тизим фазонинг базиси. Бундан
.
Теорема исботланди.
Таъриф-3. Агар ҳар қандай вектор кўринишда ягона усул билан ифодаланса, ва қисм фазоларнинг йиғиндиси тўғри йиғинди дейилади ва кўринишда белгиланади.
Теорема-3. ва қисм фазоларнинг йиғиндиси тўғри йиғинди бўлиши учун қисм фазо ноль фазо бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. тўғри йиғинди ва , бўлсин. У ҳолда ва ушбу тенгликдан тўғри йиғиндилигига асосан бўлади. Бундан эканлиги келиб чиқади. Демак нол фазо.
Энди бўлсин. У ҳолда , тенгликдан тенгликга эга бўламиз. Бу ерда эканлигини назарга олган ҳолда . Демак, ва векторлар ихтиёрий бўлганлиги учун йиғинди тўғри йиғинди бўлади. Теорема исботланди.