Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Таъриф-2. Агар ҳар қандай векторлар учун тенглик бажарилса, бу бичизиқли форма симметрик дейилади.
Лемма-1. Симметрик бичизиқли форманинг матрицаси ҳар қандай базисда симметрик.
Исбот.
.
Лемма исботланди.
Ушбу лемманинг тескариси ҳам ўринли бўлади, яъни агар бичизиқли форманинг бирор базисдаги матрицаси симметрик бўлса ушбу бичизиқли форма ҳам симметрик бўлади.
Таъриф-3. симметрик бичизиқли форма ёрдамида ҳосил бўладиган функция квадратик форма дейилади.
Лемма-2. Ихтиёрий симметрик бичизиқли форма ўзининг квадратик формаси орқали ўзаро бир қийматли аниқланади.
Исбот.
,
шунинг учун
.
Лемма исботланди.
Таъриф-4. Квадратик формани ҳосил қилувчи ягона симметрик бичизиқли форманинг матрицасига квадратик форманинг матрицаси дейилади.
2.Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтириш.
квадратик формани векторнинг координаталари орқали ифодалаш базисга боғлик эканини биз биламиз. Бу бўлимда биз квадратик формани квадратлар йиғиндисига қандай қилиб келтиришни, яъни квадратик формани
,
содда кўринишга келтирадиган базисни қандай қилиб танлашни кўрсатамиз.
Квадратик форманинг базисдаги матрицасининг барча бурчакли
(1)
минорлари нолдан фарқли бўлсин. Белгилашга асосан
.
Бизнинг мақсадимиз - векторларни шундай аниқлашки, бунда
. (2)
Уларни
, (3)
кўринишда излайлик. Агар
,
бўлса, бўлади. Ҳақиқатан ҳам, (3) тенгликларга асосан

бўлади. Шундай қилиб, агар ҳар қандай ва учун тенглик бажарилса, учун бўлади. Демак, бичизиқли форманинг симметриклигига асосан охирги тенглик лар учун ҳам ўринли. Яъни - изланаётган базис. Юқоридагидан равшанки бизнинг мақсадимиз қуйдагича:
коэффициетларни шундай аниқлаш керакки

вектор
(4)
шартларни қаноатлантирсин.
вектор ушбу шартлар билан ўзгармас кўпайтувчигача аниқланади. Бу кўпайтувчини
(5)
тенглик ёрдамида аниқлаймиз.
(4) ва (5) га нинг ифодасини қўйиб га нисбатан қуйидаги чизиқли тенгламалар системасига эга бўламиз.
(6)
Маълумки ушбу тенгламалар системасининг детерминанти нолдан фарқли. Шундай қилиб ларни топиш масаласи ечилди.
Энди квадратик формани базисдаги коэффициентларини топамиз. Таърифга асосан . Иккинчи тарафдан базиснинг ясалишига кўра , шунинг учун . Бундан ташқари (4) ва (5) га асосан
.
Шунинг учун Крамер қоидасига кўра
.
Биз кўрган базисда квадратик форма
,
каноник кўринишга эга бўлади.
Квадратик формани квадратлар йиғиндисига келтиришнинг бундай усулига Якоби усули дейилади.
3. Хақиқий квадратик формалар.
Коэффициентлари ҳақиқий сонлар майдонидан олинган квадратик формалар ҳақиқий квадратик формалар дейилади.