Алгебра ва сонлар назарияси (чизиқли алгебра)

Таъриф-5. Агар ҳар қандай нолдан фарқли вектор учун тенгсизлик бажарилса, ҳақиқий квадратик форма мусбат (манфий) дейилади.
Сильвестр критерияси деб аталувчи қуйидаги теорема квадратик форманинг мусбат аниқланганлигига жавоб беради.
Теорема-1. -матрица квадратик форманинг бирор базисдаги матрицаси бўлсин. У ҳолда квадратик форманинг мусбат бўлиши учун матрицанинг барча бурчак минорлари мусбат бўлиши зарур ва етарлидир.
Исбот. квадратик форманинг мусбат бўлсин. матрицанинг k-бурчак минорини оламиз:
,
бу ерда -шундай симметрик бичизиқли формаки, . Бу минорнинг сатрлари чизиқли эркли эканлигини кўрсатамиз. Бундан минорнинг нолдан фарқлилиги келиб чиқади. Ҳақиқатан ҳам, бу минорнинг сатрларини сонларга кўпайтириб, нол векторга тенглаймиз:
.
Бундан
.
Бу муносабатдан эса

тенгликни оламиз. Бу ердан квадратик форманинг мусбатлигига асосан

тенгликка эга бўламиз. тизим чизиқли эрклилигига асосан тенгликни оламиз. Бу эса минор сатрларининг чизиқли эрклилигини кўрсатади. Демак лар нолдан фарқли. деб ҳисоблаб, Якоби усулига асосан квадратик форма мусбат бўлганлиги учун
Аксинча тенгсизликлардан Якоби усулига асосан квадратик форманинг мусбатлигига эга бўламиз.
Теорема исботланди.
Қуйидаги теорема квадратик формаларнинг инерция қонуни дейилади.
Теорема-2. Ҳақиқий квадратик форманинг ихтиёрий каноник шаклидаги мусбат ва манфий коэффициентлар сони базисни танлашга боғлиқ эмас.
Исбот. Ҳақиқий квадратик форманинг иккита ва каноник шаклга келтирувчи базис берилган бўлиб, сонларнинг таси мусбат, сонларнинг таси мусбат бўлсин. Аниқлик учун

ва

бўлсин.
Фараз қилайлик бўлсин. орқали тизимнинг чизиқли қобиғини ва орқали тизимнинг чизиқли қобиғини белгилаймиз. Бу тизимлар чизиқли эркли бўлганлиги учун .
Бундан
.
Бунга кўра нолдан фарқли вектор мавжуд, яъни
.
Демак, . Иккинчи томондан . Ушбу зиддият тенгсизлик ўринли эканлигини кўрсатади. Худди шундай тенгсизлик ўринли эканлигини кўрсатиш мумкин. Демак .
Энди юқорида келтирилган мулоҳозани квадратик формага қўллаб, квадратик форманинг каноник базисдаги манфий коэффициентлар сони базис танлашга боғлик эмаслигини кўрсатиш мумкин.
Теорема исботланди.