Al-Xorazmiy nomidagi Urganch Davlat

1-teorema. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lishi uchun, olinganda ham, shunday topilib, sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘lishiga nisbatan Darbu yig‘indilari
(7)
tengsizlikni qanoatlantirishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. funksiya sohada integrallanuvchi bo‘lsin. Tarifga ko‘ra

bo‘ladi, bunda

olinganda xam, ga ko‘ra shunday topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan xar qanday bo‘lishiga nisbatan Darbu yig‘indilari uchun (6) munosabatlariga ko‘ra

bo‘lib, undan

bo‘lishi kelib chiqadi
Yetarliligi. olinganda ham shunday topilib, sohaning diametri bo‘lgan xhr qanday bo‘lishiga nisbatan Darbu yig‘indilari uchun

bo‘lsin. Qaralayotgan funksiya soha chegaralanganligi uchun uning quyi hamda yuqori integrallari

mavjud

bo‘ladi. Ravshanki

Bu munosabatdan

bo‘lishini topamiz. Demak, uchun

bo‘lib, undan bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning sohada integrallanuvchi ekanligini bildiradi. Teorema isbot bo‘ldi.
Agar funksiyaning sohadagi tebranishni bilan belgilasak.

bo‘lib, teoremadagi shart ushbu

ya‘ni

ko‘rinishni oladi.

Integrallanuvchi funksiyalar sinfi.

Ikki karrali integrallarning mavjudligi haqidagi teoremadan foydalanib, ma‘lum sinf funksiyalarning integrallanuvchi bo‘lishini ko‘rsatamiz.
2-teorema. Agar funksiya chegaralangan yoki sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u shu sohada integrallanuvchi bo‘ladi.
Isbot. funksiya sohada tekis uzluksiz bo‘ladi. U holda kantor teoremaning natijasiga asosan , olinganda ham, shunday topiladiki sohaning diametri bo‘lgan har qanday bo‘linishi olinganda, bu bo‘linishining har bir bo‘lagida funksiyaning tebranishi bo‘ladi. Demak, sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishi olinganda

bo‘lib, undan

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya sohada integrallanuvchi. Teorema isbot bo‘ldi.
Bazi bir uziladigan funksiyaning ham integrallanuvchi bo‘lishi ko‘rsatishdan avval nol yuzli chiziq tushunchasini eslatib, bitta lemma isbotlaymiz. tekislikda biror G chiziq berilgan bo‘lsin. Ma‘lumki, berilganda ham, G chiziqni shunday ko‘pburchak bilan o‘rash mumkun bo‘lsaki, bu ko‘pburchakning yuzi bo‘lsa, u holda G nol yuzli chiziq deb atalar edi. Masalan, oraliqda aniqlangan va uzluksiz funksiya tasvirlangan nol yuzli chiziq bo‘ladi. Shuni ham aytish kerakki garchand yuzaki qaraganda har qanday chiziq nol yuzli bo‘lib ko‘rinsa ham aslida unday emas. sohada nol yuzli G chiziq berilgan bo‘lsin.
2-lemma. olinganda ham shunday topiladiki sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishi olinganda bu bo‘linishning G chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan bo‘laklari yuzalarining yig‘indisi dan kichik bo‘ladi.
Isbot. Shartga ko‘ra G nol yuzli chiziq. Demak, uni shunday ko‘pburchak bilan o‘rash mumkinki, bu ko‘pburchakning yuzi bo‘ladi.G chiziq bilan ko‘pburchak chegarasi umumiy nuqtaga ega emas deb, G chiziq nuqtalari bilan ko‘pburchak chegarasi nuqtalari orasidagi masofani qaraylik. Bu nuqtalar orasidagi masofa o‘zining eng kichik qiymatiga erishadi. Biz uni orqali belgilaymiz. Agar sohaning diametri sohaning diametri bo‘lgan bo‘linishi olinsa ravshanki, bu bo‘linishning G chiziq bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lgan burchaklari butunlay ko‘pburchakda joylashadi. Demak, bunday burchaklar yuzalarining yig‘indisi dan kichik bo‘ladi. Lemme isbot bo‘ldi.