|
4-ta’rif. Agar da funksiyaning integral yig‘indisi chekli limitga ega bo‘lsa, funksiya sohada integrallanuvchi (Riman ma‘nosida integrallanuvchi )funksiya deyiladi. Bu yig‘indining chekli limiti esa funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va u
kabi belgilanadi. Demak,
.
Birinchi punktda keltirilgan jismning hajmi funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integralidan iborat ekan.
Misol. 1. =C C-const funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integralini topamiz. Bu funksiyaning integral yig‘indisi
bo‘lib, da bo‘ladi. Demak,
.
Xususan, bo‘lganda
(3)
bo‘ladi.
2. Ushbu punktda funksiyaning sohada integral yig‘indisini topgan edik. Uning ifodasi hamda integral ta’rifidan bu funksiyaning sohada integrallanuvchi emasligi kelib chiqadi.
1-eslatma. Agar funksiya sohada chegaralanmagan bo‘lsa, u shu sohada integrallanmaydi.
Darbu yig‘indilari.
funksiya sohada berilgan bo‘lib, u shu sohada chegaralangan bo‘lsin. Demak, shunday o‘zgarmas va sonlar mavjudki, da bo‘ladi.
sohaning biror bo‘linishini olaylik. Bu bo‘linishning har bir bo‘lagida funksiya chegaralangan bo‘lib, uning aniq chegaralari
mavjud bo‘ladi. Ravshanki, uchun
. (4)
5-ta’rif. Ushbu , yig‘indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig‘indilari deb ataladi.
Bu ta‘rifdan, Darbu yig‘indilarining funksiyaga hamda sohaning bo‘linishiga bog‘liq ekanligi ko‘rinadi: , , SHuningdek, har doim bo‘ladi.
Yuqoridagi (4) tengsizlikdan foydalanib quyidagini topamiz:
Demak,
.
Shunday qilib, funksiyaning integral yig‘indisi har doim uning Darbu yig‘indilari orasida bo‘lar ekan.
Aniq chegaraning xossasiga ko‘ra
, , ).
bo‘ladi. Natijada ushbu
,
tengsizliklarga kelamiz. Demak, uchun
(5)
bo‘ladi. U esa Darbu yig‘indilarining chegaralanganligini bildiradi.
Ikki karali integralning mavjudligi.
funksiyaning soha bo‘yicha ikki karrali integralli mavjudligi masalasini qaraymiz. Buning uchun avvalo soхasining hamda Darbu yig‘indilarning xossalarini keltiramiz.
sohasining bo‘linishlari xossalari o‘rganilgan oraliqning bo‘linishlari xossalari kabidir. Ularni isbotlash deyarli bir хil mulohoza asosida olib borilishini e’tiborga olib, quyida u xossalarini isbotisiz keltirishni lozim topdik.
funksiyaning Darbu yig‘indilari xossalari haqiqatdagi vaziyat ham хuddi shundaydir.
1. soha bo‘linishlarining sohalari. Faraz qilaylik, P= soha bo‘linishlaridan iborat to‘plam bo‘lib, P P bo‘lsin.
Agar bo‘linishining хar bir bo‘luvchi chizig‘i bo‘linishining ham bo‘luvchi chizig‘i bo‘lsin, bo‘linish ni ergashtiradi deb ataladi va kabi belgilanadi.
. Agar P, P, P bo‘linishlari uchun bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
. P, P bo‘linishlari uchun, shunday P topiladiki,
bo‘ladi.
2. Darbu yig‘indilarining xossalari funksiya sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsin. sohaning bo‘linishini olib, bu bo‘linishga nisbatan funksiyaning integral va Darbu yig‘indilarini tuzamiz:
. olinganda ham nuqtalarini shunday tanlab olish mumkinki,
shuningdek, nuqtalarini yana shunday tanlab olish mumkun.
bo‘ladi.
Bu xossa Darbu yig‘indilari lar integral yig‘indi. muayyan bo‘linish uchun mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegara bo‘lishini bildiradi.
. Agar va lar sohaning ikki bo‘linishlari bo‘lib, bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
Bu xossa sohaning bo‘linishdagi bo‘laklar soni orta borganda ularga mos Darbuning quyi yig‘indisining kamaymasligi, yuqori yig‘indisining esa oshmasligini bildiradi.
. Agar va lar sohaning ixtiyoriy ikki bo‘linishlari bo‘lib, va lar funksiyaning shu bo‘linishlarga nisbatan Darbu yig‘indilari bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
Bu xossa sohaning bo‘linishlarga nisbatan tuzilgan quyi yig‘indilar to‘plami ning xar bir elementi (yuqori yig‘indilar to‘plami ning har bir elementi) yuqori yig‘indilar to‘plami ning istalgan elementidan (quyi yig‘indilar to‘plami ning istalgan elementidan) katta (kichik) emasligini bildiradi.
. Agar funksiyaning sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u holda
bo‘ladi.
Bu xossa funksiyaning quyi ikki karrali integralli uning yuqori ikki karrali integralidan katta emasligini bildiradi:
. Agar funksiyaning sohada berilgan va chegaralangan bo‘lsa, u holda olinganda ham, shunday topiladiki, sohaning diametri bo‘lgan barcha bo‘linishlar uchun
(6)
bo‘ladi.
Bu xossa funksiyaning yuqori hamda quyi integrallari da mos ravishda Darbuning yuqori hamda quyi yig‘indilarining limiti ekanligini bildiradi:
3.Ikki karrali integralning mavjudligi.
Endi ikki karrali integralning mavjud bo‘lishining zarur va yetarli shartini (kriteriysni) keltiramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
