|
demak ¿={8;-12;4} bo'ladi.
Endi A nuqtaning koordinatalarini ko‘rib o'tamiz. Aytaylik, fazoda
Oxyz dekart koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu sistema istalgan
A nuqta uchun O A vektoming koordinatalari uning radius vektorining
koordinatalaridir. Odatda A nuqtaning
koordinatalari shu harfning yonida
kichik qavs ichida yoziladi: A(xa;
z,)
A va B nuqtalaming Jcoordi^atalari
m a’lum bo‘lganda A B vektoming
koordinatalarini topishni ko'raylik.
’ Aytaylik, A nuqtaning koordinata
lari (xÁ;yA;zÁ) B nuqtaning koordi-
39 chiVma
natalaFÍ
bo‘lsin. U holda
cmzma
(
39
-chizma).
a = x j + y j + zjk
(3)
72
AB
=
OB- OA = (xHi + y Hj + zltk)- (xAi + y Aj + zAk) =
=
{xh -
x A
)/ +
(yB - y A )j
+
(z „ - z ,
)k.
•—►
Bu yerdan
AB
vektor
xti-xA;y B ~ yA',zB
~ ZA koordinatalarga ega
boMishini ko‘ramiz. Demak, vektoming koordinatalari uning mos koor
dinatalari ayirmasiga teng:
A B = {xB - x A; y „ - y A, z H - z A
} .
(6 )
*—►
Misol. Agar
A(
2;5; 1) va
B(
5;3;6) bo‘lsa
AB
vektoming koordi
natalarini toping.
Yechish. Aytaylik,
AB
=
{xAfl;yjB;z
4B} boisin, u holda (6) formu-
laga asosan:
xAB=xn-xh= S
- 2 = 3;
y A B = y a -yk = 's- 5 = -2;
ZAU = Za -2* = 6 - 1 = 5 .
0 ‘z-o‘zini tekshirish uchun savollar.
1. Tekislikda, fazoda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasini izohlang.
2. Nuqtaning va vektoming koordinatalarini tushuntiring.
4-§. Kesmani berilgan nisbatda bo‘lish
M N
kesmani berilgan A, :
nisbatda bo'lish talab qilinsin. Agar M N
kesmada M L
masofa absolut qiymatining L N
masofa absolut qiymatiga
nisbati At :
A,
ga teng bo‘lsa, L
nuqta M N
kesmani
: Â2
nisbatda
bo‘ladi deyiladi. Berilgan masalani hal qilish uchun M N
kesmaning
M
=
al
M
tenglikni qanoatlantiruvchi L(x, \y, \z, )
nuqtasining koordinatalarini topish kerak
(40-chizma). Ta’riflanishiga ko‘ra L
nuqta
M N
kesmani A, : Â2
nisbatda bo‘lishi uchun
M L = ^ - L N
(1)
2
tenglikni bajarilishi zarur.
M L
va
L N
vektoriami O M ,O L
va O N
radius-vektorlar orqali ifoda-
À
laymiz. U holda (1) tenglama O L - O M
=
— ■ ( O N - OL)
ko‘rinishni oladi.
A-,
73
O L =
—
O M +
Á'
O N
(2)
Я, + Я2
Aj + Я2
kelib chiqadi.
(2)
formula qo'yilgan masalaning yechimini beradi, chunki u N N
kesmani berilgan \ : Á2 nisbatda bo‘luvchi L nuqtaning radius-vek-
torini M ( x M ,y M ,zu ) va N ( x N,y N, Z N) nuqtalaming radius-vektorlari
orqali ifodalaydi.
(2) vektor tenglikka asosan quyidagi tengliklarga ega bo'lamiz:
Я,
Я,
x L = - r - ^ r x i 4 + -r-s- r x " ;
Я, + Я2
A| + Я2
я2
л,
Л = - --
-Ум+-7-*-гУн\
Í3)
Л, + Л
2
Я, + Л2
л2
я,
Я, + Я2
Я, + Я2
(3) formula berilgan kesmani Я, : Я2 nisbatda bo'luvchi L nuqta
ning koordinatalarini topish formulalaridir. L nuqta M N kesmaning
o'rtasi bo'lgan xususiy holda (3) formula
v _ X M + X N . ..
+ У * ■
_ _ Z M + Z N
/44
Л / —
9 y j —
y Z ¡ —
V /
L
2
2
2
ko'rinishni oladi. (4) formula kesmani teng ikkiga bo'luvchi nuqtaning
koordinatalarini hisoblash fonnulalaridir.
0 ‘z-o‘zini teksbirish uchun savollar.
1. Kesmani berilgan nisbatda bo'luvchi nuqtaning koordinatalarini hisob
lash uchun formula keltirib chiqaiing.
2. Kesmani teng ikkiga bo'luvchi nuqtaning koordinatalarini hisoblash uchun
formula keltirib chiqaiing.
Bundan esa
5-§. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasi
Vektorlar ustida hozirgacha bajarilgan amallar (qo'shish, ayirish,
songa ko'paytirish) chiziqli amallar bo'lib, natijada yana vektorlar kelib
chiqadi. Bu mavzuda vektorlar ustida natija skalyar (son) hosil bo'ladigan
amalni ko'rib chiqamiz.
74
Ta’rif. Ikkita
a
va
b
vektor uzunliklari bilan ular orasidagi bur-
chak kosinusining ko‘paytmasidan hosil bo'lgan son bu vektorlarning
skalyar ko‘paytmasi deyiladi. Agar ikkita vektordan birortasi nol vektor
bo‘lsa, skalyar ko'paytma nolga teng bo‘ladi.
a
va
b
vektorlarning skalyar ko'paytmasi
â-b
ko‘rinishida belgi-
lanadi, demak,
â-b =\â\-\b\cos(p.
(1)
Bu yerda
cp
berilgan
a
va
b
vektorlar orasidagi burchak. (1)
formula yordamida kuchning bir nuqtadan ikkinchi nuqtagacha to‘g‘ri
chiziqli harakatida bajangan ishini hisoblash mumkin. Aytaylik biror
jism o‘zgarmas F kuchning tasirida boshlangich B nuqtadan C nuqta
gacha to‘g‘ri chiziqli harakatlansin, u holda bajarilgan ish
A
= |/;|-|5C|cosç7
_
— ►
bilan ifodalanadi.
U
skalyar kattalik bo‘Iib,
F
va
BC
vektorlarning
—.
—
►
skalyar ko‘paytmasidan
iboratdir. Bu yerda
cp - F
va
BC
vektor
orasidagi burchak.
Misol.
|
d
|=
3; |
b
|= 4 hamda
5
va
b
vektorlar orasidagi burchak
45° ga teng bo‘lsa, à va
b
vektorlarning skalyar ko‘paytmasini
toping.
Yechish. (1) formulaga asosan topamiz:
J l
a-b
= 3-4-cos45° =12- —
= 6V2.
2
Skalyar ko'paytmaning xossalari:
1) Ixtiyoriy à va j vektorlar uchun quyidagi munosabat o‘rinlidir:
a-b = b -
a.
Bu xossa skalyar ko'paytmaning kommutativlik xossasi deyiladi.
Isbot. Bu xossa skalyar ko‘paytmaning ta’rifidan bevosita kelib
chiqadi, ya’ni
a ■
b
= 1 5 1 ■
I
b
I cos®
>=> â ■
b = b ■
a.
b ■
a
=|
b
| • |
a
| cos^J
2)
Ixtiyoriy
a
va
b
vektorlar va ixtiyoriy
k
e
R
son uchun quyidagi
tenglik o‘rinlidir:
(kd)-b =k(d-b)
(2)
Bu xossadan vektorlarni skalyar ko'paytirishda sonli ko‘paytuvchini
skalyar ko'paytma belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin degan xulosa
kelib chiqadi.
75
Isbot. Bu xossani isbot qilish uchun ikki vektor orasidagi burchak
tushunchasidan foydalanamiz. M a ’lumki, agar A: > 0 bo'lsa a va b
vektorlar orasidagi burchak ka va b vektorlar orasidagi burchakka
teng bo'ladi. Ta’rifga ko‘ra:
Do'stlaringiz bilan baham: | 
