А. А. Самарский, А. В. Гулин

L — 1/2 
1 0J
64

---

Матрица 
L t
согласно свойству 3° получается из 
P23L
i
перестановкой 
второго и третьего столбцов,
0 О
1
0
* 
О ь
т. е. 
Li
— нижняя треугольная матрица, имеющая обратную.
Из (18), учитывая равенство 
Р2\ = Р2
а, получим
Z iP n = P » h .
(
19
)
Отсюда и из (16) видим, что
U = L 3L2Z lP23Pl2A = L -lPA,
где обозначено 
P = P 23Pl2, L = Z ~ l 
Поскольку 
Р 
— матрица
перестановок и 
L 
— нижняя треугольная матрица, свойство (17) 
доказано. Оно означает, что метод Гаусса с выбором главного эле­
мента по столбцу эквивалентен обычному методу Гаусса, приме­
ненному к матрице 
РА, 
т. е. к системе, полученной из исходной си­
стемы перестановкой некоторых уравнений.
4. 
Общий вывод. Результат, полученный здесь для очень част­
ного примера, справедлив и в случае общей системы уравнений (
1
). 
А именно, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу 
можно записать в виде
• ■
 ■
L^PijJ-iPi,f,Ax
 =
=
l^ n Z m - \ P m - \ ,i
. . .
L^P-zJ^LiPijJ
, (20)
где 
Pkjk
— элементарные матрицы перестановок такие, что 
k ^ j h^ .
и 
L h
— элементарные треугольные матрицы.
Отсюда, используя соотношения перестановочности, аналогич­
ные (19), можно показать, что метод Гаусса с выбором главного 
элемента эквивалентен обычному методу Гаусса, примененному к 
системе
P A x= P f, 
(21)
где 
Р 
— некоторая матрица перестановок.
Теоретическое обоснование метода Гаусса с выбором главного 
элемента содержится в следующей теореме.
Т е о р е м а 1