ной матрицы
А
путем умножения
А
слева на элементарную мат
рицу
Li =
1
/ап
0 0‘
— ^
21/^11
1 0 »
— а31/аи О 1.
(17)
так что
A l = LlA.
При этом систему (16) можно записать в виде
L lAx = L lf.
Матрицу (17) будем называть элементарной треугольной мат
рицей, соответствующей первому шагу исключения метода Гаусса.
Перепишем систему (16) в виде
М
“Ь С
13
ЛГ
3
—
У
1
1
а ^ х 2
+ ^ х 3 = /<1),
(18)
а[2X2 + a $ x 3 = f f )
и осуществим второй шаг метода Гаусса, т. е.
исключим неизвестное
х г
из последнего уравнения. Тогда получим систему вида
-'
i
“Г
Су2х2
“Г
Суах3
—
-
у
\ ,
Х2 -(- С2З^д = У2,
(19)
Нетрудно видеть, что переход от (18) к (19) осуществляется путем
умножения системы (18) на элементарную треугольную
матрицу
Т2 =
1
о
о
0
0
i/4V
0
1
(
20
)
Таким образом, после второго шага исключения мы приходим
к системе
ULyAx = L2Uf,
(21)
где матрицы L, и
L2
определены согласно (17), (20). Наконец, ум
ножая (21) на матрицу
7-з =
1 0
0 - 1
0 1 0
о о 1 /^ J
получаем систему
LyLzLyAx— LyL-yLif,
(22)
матрица которой
U — L3LzLyA
является верхней треугольной матри
цей с единичной главной диагональю. Отсюда следует, в частности,
что
A = LU,
где
L = Ly1L21L21
— нижняя треугольная матрица. Таким
образом, LH-разложение матрицы
А
может быть получено с по
мощью элементарных треугольных матриц: сначала строятся мат
рицы L,, Т,2,
Т-з и вычисляется
U
=
L3L2L
i
A
и затем находится
L =
59
=
L^L^L^.
Отметим, что матрицы
L~k
имеют простой вид:
~ап
0 0'
1
0
0“
1ЛХ =
1
0
if
0 u2-2 0
_а31 0
1_
0 flU)
U32
1
r l
0
о -
а и
0
0 '
0
1
0
,
L
=
а 21
а (1)
U22
0
_ 0
0
зз 3
а 31
а (1)
32
(2)
U33 J
причем на диагонали матрицы
L
расположены ведущие элементы
метода исключения.
Запись метода Гаусса в виде (22) детально описывает процесс
исключения.
Все сказанное выше переносится без изменения и на системы
уравнений произвольного порядка (2).
Процесс исключения можно
записать формулой
L mL*Tn
—1 ■ ■ ■
L i A x
l^mL/TTi— i
. . •
l l
(23)
где элементарная нижняя треугольная матрица
Lk
на
k-м
шаге
исключения имеет вид
-1
0
0 . . о-
0
1 / < - 1(
0 . . 0
0
1 . . 0
0
0 . . 1
Матрица
Lh
осуществляет исключение неизвестного
xh
из уравнений
с номерами
k + l , k + 2,
. . . ,
т.
Матрицы L*1
существуют и имеют
вид
~ 1
0
0 ... о-
0
а(к~1)
• •'
akk
0 ... 0
0
(А-1)
a k + lk
I ... 0
0 • • •
amk
0 ... 1
§ 3. Метод Гаусса с выбором главного элемента
1. Основная идея метода.
Может оказаться, что система
А х = !
О)
имеет единственное решение, хотя какой-либо из угловых миноров
матрицы
А
равен нулю. Кроме того,
заранее обычно неизвестно,
все ли угловые миноры матрицы
А
отличны от нуля. В этих случа-
60
ях обычный метод Гаусса может оказаться непригодным. Избе
жать указанных трудностей позволяет метод Гаусса с выбором
главного элемента. Основная идея метода состоит в том, чтобы на
очередном шаге исключать не следующее по номеру
неизвестное,
а то неизвестное, коэффициент при котором является наибольшим
по модулю. Таким образом, в качестве ведущего элемента здесь вы
бирается
главный, т. е. наибольший по модулю элемент.
Тем самым,
если det^4^=0, то в процессе вычислений не будет происходить де
ление на нуль.
Различные варианты метода Гаусса с выбором главного элемен
та проиллюстрируем на примере системы из двух уравнений
Предположим, что |а 12| > | а и |. Тогда па первом шаге будем
исключать переменное
х2.
Такой прием эквивалентен тому, что си
стема (2)
переписывается в виде
и к (3) применяется первый шаг обычного метода Гаусса. Указан
ный способ исключения называется
методом Гаусса с выбором глав
ного элемента по строке.
Он эквивалентен применению обычного
метода Гаусса к системе, в которой па каждом шаге исключения
проводится соответствующая перенумерация переменных.
Применяется также метод Гаусса с выбором главного элемента
по столбцу. Предположим, что | fl2i| > |
аи \
. Перепишем систему (2)
в виде
и к новой системе применим на первом шаге обычный метод Гаусса.
Таким образом,
метод Гаусса с выбором главного элемента по
столбцу
эквивалентен применению обычного метода Гаусса к систе
ме, в которой на каждом шаге исключения проводится соответ
ствующая перенумерация уравнений.
Иногда применяется и метод Гаусса с выбором главного эле
мента по всей матрице, когда в качестве ведущего выбирается мак
симальный по модулю элемент среди всех элементов матрицы си
стемы.
2. Матрицы перестановок. В предыдущем параграфе было по
казано, что обычный метод Гаусса можно записать в виде
где
Lk, k = \,
2, . . . ,
m,
— элементарные нижние треугольные матри
цы. Чтобы получить аналогичную запись метода Гаусса с выбором
Do'stlaringiz bilan baham: 
