А. А. Самарский, А. В. Гулин

цу 
А порядка т на блоки
. 
ат
- 1
А =
°т
- 1
атт
где
-а „
ai,m-l
- а т-
1,1
•* 
ат—1,т—
1-
Ьш —
 1— (^ т |, Om2t 
| Цт, т —l).
Достаточно рассмотреть два случая: det 
А т-1=£0 и det A m- i = 0 .  В первом
случае по предположению индукции существует матрица перестановок 
Pm-i
порядка т — 1 такая, что P m- i A m- i имеет отличные от нуля угловые миноры.
Тогда для матрицы перестановок
Р =
О'
1
имеем
~ D 
А
Г тп—\ т—
\
3 1
3й Т
. 
^ т
-1
атт
причем det (РА) = ± det Ау^О. Тем самым 
все 
угловые 
миноры 
матрицы 
РА
отличны от нуля.
Рассмотрим второй случай, когда d e M m_i = 0. Так как det 
АФО, найдется
хотя бы один отличный от нуля минор порядка 
т— 1 матрицы А, полученный
вычеркиванием последнего столбца и какой-либо строки. Пусть, например:
ап . . ■ ai,rn-i
ai - i ,  1 • • ■ а
1
—
1
,т
—1
° /+ i,i ■ • ■
а1+1,т-1
ат1 • • • ат,т
—1
(23)
66

---

где 
1фт. Переставляя в матрице А строки с номерами I и т, получим матрицу
Р 1тА , у которой угловой минор порядка т— 1 имеет вид
ап . .
■ ai,m-i
ai~
1.1 • • ■ a/-i,m -i
“ml • • ■ 
l
а1+
1,1 ' ' • 
aUl,m-l
ajn-
1,1
• • 
i,m
—l
и отличается от (23) только перестановкой строк. Следовательно, этот минор
не равен нулю и мы приходим к рассмотренному выше случаю.
6
. Вычисление определителя. В большинстве существующих 
стандартных программ одновременно с решением системы линей­
ных алгебраических уравнений (
1
) вычисляется определитель ма­
трицы 
А.
Пусть в процессе исключения найдено разложение (22), 
т. е. построены матрицы L и 
U.
Тогда
det(/M ) = d e t 
L
det 
U— det Ь = 1ц122... lmm,
т. e. произведение диагональных элементов матрицы 
L
равно опре­
делителю матрицы 
РА.
Поскольку матрицы 
РА
и 
А
отличаются 
только перестановкой строк, определитель матрицы 
РА
может от­
личаться от определителя матрицы 
А
только знаком. А именно, 
det 
{РА
) = det 
А,
если число перестановок четно, и det(PA) =
= —det А, если число перестановок нечетно. Таким образом, для 
вычисления определителя необходимо знать, сколько перестановок 
было осуществлено в процессе исключения.
Если матрица 
А
вырождена, то при использовании метода Гаус­
са с выбором главного элемента по столбцу на некотором шаге 
исключения 
k
все элементы /г-го столбца, находящиеся ниже глав­
ной диагонали и на ней, окажутся равными нулю.
Действительно, рассмотрим укороченную систему (см. (И ) из