А. А. Самарский, А. В. Гулин

т 
4 
т 
2
п =
О, 1, . . . . /с— 1, 
у0
задан,
где 
y ll = y ( tn) 
Н(°].
Схема (19) имеет канонический вид (7), где
В = Е
+ 0,5тЛ + — Л2Л2 
= {Е +
0,5тА) 
(Е +
0,5тЛ2).
4
Покажем, что оператор Л,Л2 положителен. По определению 
имеем
(A iA ^ij — Ух ~х .
i = l , 2 ,
Л ^ - 1 ,
j = 1 , 2 , . . . ,
Я2- 1,
так что
Л'г-1 
N
 i- l
(AiAtf, у ) =
 
2
2
Ья-хюлмУч-
/ ==1 
1=1
(
20
)
Учитывая, что 
уц= уму
= 0 , преобразуем внутреннюю сумму в
(20) по формуле (см. (14) из § 3 гл. 1)
A'i-1 
N
1
2
^ У х г Х г Х г Х и Ц У У ~
_
2
^ Х г Х г Х и У У х и Ч
1=1 
1=1
и запишем (20) в виде
j
V| 
iV2-l
(ли2у, I/) = - 2 /г1 2 
h ^
x, i iV-xuir
i= -
1 
/ = 1
Затем, снова применяя формулу (14) из § 3 гл. 1 и учитывая, что 
yio = yiN2 = 0,
получим
Л?2—
1 
Л/2
2 ^ w
f c / = - 2
/=1 
/=i
так что окончательно будем иметь
(Л И ^ ,я) = S /г* 2
,г*(УхГХ2.иУ'
i=l 
!—1
375

---

В = Е
+ 0,5тЛ + —
АгА0
> 0,5тЛ,
4
и, следовательно, условие устойчивости (8) выполнено при любых 
т, 
hu h2,
т. е. продольно-поперечная схема абсолютно устойчива.
4. Понятие суммарной аппроксимации. В предыдущем пункте 
мы исследовали устойчивость продольно-поперечной схемы путем 
исключения промежуточных значений 
уп+'/г
и замены исходной схе­
мы переменных направлений эквивалентной ей неявной многомер­
ной схемой (19). Не представляет груда доказать, что при доста­
точной гладкости решения 
и(х, 
t )
задачи (1) разностная схема 
(19) имеет погрешность аппроксимации 0 ( т 2-г/г2) и сходится в 
сеточной 
L 3- H opM e 
со вторым порядком по т и по 
h.
Поэтому спра­
ведливо утверждение и о том, что решение 
продольно-попереч­
ной схемы (12), (13) сходится к решению 
и(х, t)
задачи (1) со 
вторым порядком, т. е.
+ hl + hi), 
п =
0, 1, . . . .
К -
1,
где
|| */rt+l 
U (tn+
1) I —
(
2 (l/"/1 
W 
(Xij, tn+
1)) 
ll
1^2 j
\ xij
e “/i 
/
и 
M
,— постоянная, не зависящая от т, 
hu h2.
Исключение промежуточных значений упрощает процедуру ис­
следования разностной схемы, однако вносит некоторые неоправ­
данные ограничения. Например, для эквивалентности схемы (12),
(13) схеме (19) существенным является предположение о том, что 
область 
G
— прямоугольник, кроме того, необходимо специальным 
образом задавать граничные условия для вспомогательной функ­
ции 
ytf'A
.
Оказывается, что схемы переменных направлений можно иссле­
довать непосредственно, не исключая промежуточных значений 
У?А/а.
Для этого надо ввести понятие суммарной аппроксимации, 
которое мы поясним на примере схемы (12), (13). Пусть 
u{xu x2,t)
— 
точное решение задачи (1). Представим решение разностной зада­
чи (12), (13) в виде
Уи = и у + г 1у
« = 0 , 1, . . ., /С,