А. А. Самарский, А. В. Гулин

i # * =
п =
 0, 1, . . . .
К -
 1,
где
ип
ц
=
и
(х<‘>, х, 
tn),
=
и
(4 ‘>, хtn
+ 0,5т).
Подставляя указанные выражения для 
у"., у^У*
в уравнения 
(12), (13), получим уравнения, которым удовлетворяет погрешность
откуда и следует положительность оператора 
А,А2.
При этом
376

---

метода
где
z
n + Z l
_
2 п  
il 
гЦ
A 
Tl ‘/л 
I 
А 
И 
I 
. f t
__
=
\ 2 i t  
+ Л 22,у + ф ^ у , 
Xij ■— О)/,,
0,5т
7«+1 _ 7™
+'Л 
о
‘V 
_ л ,"+*/.
0 ,5 т
AiZif
1 + Л22,-/1 + фад/* 
хн
S oj;j,
, л + % _
, , ra
1 “ • 
О
W
г 
A
n + V a
I 
л
П
^
1
,
1
/ — -------- -----------Ь ^-
1
^
1
/ 
“I- Л2^1/»
I ГС
'К.'/:
0 ,5 т
un+i _ „«И/,
‘7 
о 
I л гс+% г д „«+1
---------------- r A xUf/ 
.
0 ,5 т
(
22
)
(23)
(21)
Сеточные функции, определенные согласно (22), (23), называ­
ются погрешностями аппроксимации уравнений (12), (13) соответ­
ственно на решении исходной задачи (1). Разлагая функции, вхо­
дящие в выражения для 
ф2, по формуле Тейлора в точке 
(*<£), 
x f , tn),
получим
фп. 
■1,1
т 
d2u 
(хи, (п)
т 
да (xijt tn)
4 
dt2
' 
2 
1 
57
+ 0 (т 2 + /г2),
фл .. — — 
* 2,1/
3 a2u (jCf -, 7n)
—т-------
-
-----
4 
572
т 
r 
du (xLj, /„)
--- A-.1
2 
dt
xLn
du
(*./■ О
dt
fO(x2+/P),
где 
Lau = 
d2uldXa,
a = l , 2. Таким образом, каждое из уравнений 
(12), (13) аппроксимирует исходное уравнение (1) с первым по­
рядком по т и вторым — по 
h.
Вместе с тем сумма погрешностей 
аппроксимации фТ — ф"17 _j_ ф"(7 имеет второй порядок по т и по 
h.
Действительно,
I 
Л
Фч =
dt2
+ т (Тх -(- L2)
(*у С) 
&
+ 0 (т 2 + й2),
и в силу дифференциального уравнения (1) имеем
5ц
"57" ’
так что ф ? /= 0 (т 2 + /г2).
Поэтому говорят, что схема (12), (13) обладает 
суммарной ап­
проксимацией второго порядка по х и по h.
Можно получить оценку решения задачи для погрешности (21) через норму
функции ф = ф 1 + ф ,1 из которой будет следовать второй порядок точности схемы
(12), (13) (см. [3 2 ]).
Приведем другие примеры схем переменных направлений для уравнения (1),
обладающих суммарной аппроксимацией. 
Локально-одномерная схема состоит
377

---

в последовательном решении уравнении
ип+у2
_
,,п
= Л
iy1}v\
хи
е шл,
(24)
= л ^ 1, 
*l7 е

В этой схеме каждое из уравнений в отдельности не аппроксимирует исход­
ное уравнение (1), однако имеет место суммарная аппроксимация 
О (т+Л 2). Д ей ­
ствительно, в данном случае
Ф+Уг_ ф .
U I J
u t 1
j_ 
a
,,n+V4
tp j-----
т
U n f
1 — 
и п ^ А
ui} 
uij
1
Л х ^ у
1 А 
:
Т i — -
Т
г
М иц
ди (xi;, tn)
dt
. ди
К /- 
tn)
■Liu (xu , tn) +
0(т+/г2)=0(1),
+ L
m
(xijt tn) + 0 ( т + /г2) = О (1)
и ф
1
+ ф 2 = 0(т-1-/г2).
В качестве упражнения читателю предлагается рассмотреть схему
фП — ф?Ь
уч 
уч
-
=
+
A2y-f,
(25)
■
= Л
2
Wif1 — nlj)
и доказать, что она обладает суммарной аппроксимацией. Кроме того, рекомен­
дуется провести исключение промежуточных значений 
У ^ 1 из схем (24), (25),
получить соответствующие многомерные разностные схемы и сформулировать
граничные условия, при которых многомерные схемы эквивалентны исходным схе­
мам переменных направлений. При нахождении граничных условий для 
уп
ц ^
следует поступать так же, как и в случае схемы (12), (13), т. е. выразить 
у П
ц'^'
из уравнений (24) или (25) через 
у П
ц Х, у П
ц и доопределить 
на границе
с помощью полученного выражения.
Г Л А В А 5
ПРЯМЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Модельная задача
1. Введение. Как мы уже видели, аппроксимация дифференци­
альных уравнений разностными приводит к системам линейных ал­
гебраических уравнений
Ay = f,
 
(О
которые нецелесообразно, а чаще всего и невозможно решать стан­
дартными вычислительными методами линейной алгебры.
378

---

Если исходной задачей является краевая задача для обыкно­
венного дифференциального уравнения, то соответствующую раз­
ностную схему можно решить с помощью метода прогонки (см. п. 7 
§ 4 ч. I). В многомерном случае не существует столь же удобного 
и экономичного способа решения разностных уравнений, как метод 
прогонки. Поэтому возникает необходимость в развитии методов, 
специально предназначенных для решения многомерных разностных 
краевых задач. Мы будем рассматривать здесь лишь двумерные 
разностные задачи.
Как и в общем случае систем линейных уравнений, методы ре­
шения разностных задач разделяются на прямые и итерационные. 
Итерационные методы являются более простыми, чем прямые, и в 
меньшей степени используют структуру матрицы. По этой причине 
для решения двумерных разностных уравнений первоначально ис­
пользовались исключительно итерационные методы. Однако в слу­
чае разностных задач сходимость таких, например, методов, как 
метод простой итерации, Зейделя, верхней релаксации, весьма мед­
ленная. В настоящее время интенсивно развиваются и прямые ме­
тоды решения двумерных разностных уравнений. Они применимы, 
как правило, к уравнениям с разделяющимися переменными, когда 
область изменения независимых переменных — прямоугольник. На­
конец, следует отметить все возрастающее значение неявных ите­
рационных методов, в которых решение на новой итерации находит­
ся тем или иным прямым методом. Хотя такие методы алгоритми­
чески сложнее, чем явные, их несомненным преимуществом явля­
ется существенно более быстрая сходимость.
2. 
Модельная задача. Методы решения двумерных разностных 
краевых задач мы будем иллюстрировать в дальнейшем на сле­
дующем простом примере. Рассмотрим задачу Дирихле для урав­
нения Пуассона
дЧ
дЧ
дх
?
— — — f(x), 
X = (xlt х2)
=
G,
и (х )=
0, 
x = ( x h
х2) е Г
в единичном квадрате 
G
(0Введем в 
G
квадратную сетку с шагом 
h,
т. е. множество точек
Qk = {хи = (x f, х<{>)},
где 
х ^ — ih, х ^
=
jh, i, j=
1, 2, . . . ,
N
, 
kN =
1. Пусть, как обычно, 
(oh— множество внутренних точек и "р,— множество граничных то­
чек сетки
Заменим исходную дифференциальную задачу разностной за­
дачей
Ух 1Х1,а
+
Ух2хг,Ц = — f
‘Ь 
Xii
^ “ Л, 
(2)
которую будем рассматривать как модельную при изучении мето-
379

---

дов решения сеточных уравнений. Подробнее задачу (2) можно 
записать в виде системы
Hi-i
,/ 
^ycj 
Уи\,}
h?
~ 2«И
Л2
■
» и -
■f a
,
(
3
)
4
5
4
4 ] 
/}