|
i # * =
п =
0, 1, . . . .
К -
1,
где
ип
ц
=
и
(х<‘>, х,
tn),
=
и
(4 ‘>, хtn
+ 0,5т).
Подставляя указанные выражения для
у"., у^У*
в уравнения
(12), (13), получим уравнения, которым удовлетворяет погрешность
откуда и следует положительность оператора
А,А2.
При этом
376
метода
где
z
n + Z l
_
2 п
il
гЦ
A
Tl ‘/л
I
А
И
I
. f t
__
=
\ 2 i t
+ Л 22,у + ф ^ у ,
Xij ■— О)/,,
0,5т
7«+1 _ 7™
+'Л
о
‘V
_ л ,"+*/.
0 ,5 т
AiZif
1 + Л22,-/1 + фад/*
хн
S oj;j,
, л + % _
, , ra
1 “ •
О
W
г
A
n + V a
I
л
П
^
1
,
1
/ — -------- -----------Ь ^-
1
^
1
/
“I- Л2^1/»
I ГС
'К.'/:
0 ,5 т
un+i _ „«И/,
‘7
о
I л гс+% г д „«+1
---------------- r A xUf/
.
0 ,5 т
(
22
)
(23)
(21)
Сеточные функции, определенные согласно (22), (23), называ
ются погрешностями аппроксимации уравнений (12), (13) соответ
ственно на решении исходной задачи (1). Разлагая функции, вхо
дящие в выражения для
ф2, по формуле Тейлора в точке
(*<£),
x f , tn),
получим
фп.
■1,1
т
d2u
(хи, (п)
т
да (xijt tn)
4
dt2
'
2
1
57
+ 0 (т 2 + /г2),
фл .. — —
* 2,1/
3 a2u (jCf -, 7n)
—т-------
-
-----
4
572
т
r
du (xLj, /„)
--- A-.1
2
dt
xLn
du
(*./■ О
dt
fO(x2+/P),
где
Lau =
d2uldXa,
a = l , 2. Таким образом, каждое из уравнений
(12), (13) аппроксимирует исходное уравнение (1) с первым по
рядком по т и вторым — по
h.
Вместе с тем сумма погрешностей
аппроксимации фТ — ф"17 _j_ ф"(7 имеет второй порядок по т и по
h.
Действительно,
I
Л
Фч =
dt2
+ т (Тх -(- L2)
(*у С)
&
+ 0 (т 2 + й2),
и в силу дифференциального уравнения (1) имеем
5ц
"57" ’
так что ф ? /= 0 (т 2 + /г2).
Поэтому говорят, что схема (12), (13) обладает
суммарной ап
проксимацией второго порядка по х и по h.
Можно получить оценку решения задачи для погрешности (21) через норму
функции ф = ф 1 + ф ,1 из которой будет следовать второй порядок точности схемы
(12), (13) (см. [3 2 ]).
Приведем другие примеры схем переменных направлений для уравнения (1),
обладающих суммарной аппроксимацией.
Локально-одномерная схема состоит
377
в последовательном решении уравнении
ип+у2
_
,,п
= Л
iy1}v\
хи
е шл,
(24)
= л ^ 1,
*l7 е
В этой схеме каждое из уравнений в отдельности не аппроксимирует исход
ное уравнение (1), однако имеет место суммарная аппроксимация
О (т+Л 2). Д ей
ствительно, в данном случае
Ф+Уг_ ф .
U I J
u t 1
j_
a
,,n+V4
tp j-----
т
U n f
1 —
и п ^ А
ui}
uij
1
Л х ^ у
1 А
:
Т i — -
Т
г
М иц
ди (xi;, tn)
dt
. ди
К /-
tn)
■Liu (xu , tn) +
0(т+/г2)=0(1),
+ L
m
(xijt tn) + 0 ( т + /г2) = О (1)
и ф
1
+ ф 2 = 0(т-1-/г2).
В качестве упражнения читателю предлагается рассмотреть схему
фП — ф?Ь
уч
уч
-
=
+
A2y-f,
(25)
■
= Л
2
Wif1 — nlj)
и доказать, что она обладает суммарной аппроксимацией. Кроме того, рекомен
дуется провести исключение промежуточных значений
У ^ 1 из схем (24), (25),
получить соответствующие многомерные разностные схемы и сформулировать
граничные условия, при которых многомерные схемы эквивалентны исходным схе
мам переменных направлений. При нахождении граничных условий для
уп
ц ^
следует поступать так же, как и в случае схемы (12), (13), т. е. выразить
у П
ц'^'
из уравнений (24) или (25) через
у П
ц Х, у П
ц и доопределить
на границе
с помощью полученного выражения.
Г Л А В А 5
ПРЯМЫЕ И ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Модельная задача
1. Введение. Как мы уже видели, аппроксимация дифференци
альных уравнений разностными приводит к системам линейных ал
гебраических уравнений
Ay = f,
(О
которые нецелесообразно, а чаще всего и невозможно решать стан
дартными вычислительными методами линейной алгебры.
378
Если исходной задачей является краевая задача для обыкно
венного дифференциального уравнения, то соответствующую раз
ностную схему можно решить с помощью метода прогонки (см. п. 7
§ 4 ч. I). В многомерном случае не существует столь же удобного
и экономичного способа решения разностных уравнений, как метод
прогонки. Поэтому возникает необходимость в развитии методов,
специально предназначенных для решения многомерных разностных
краевых задач. Мы будем рассматривать здесь лишь двумерные
разностные задачи.
Как и в общем случае систем линейных уравнений, методы ре
шения разностных задач разделяются на прямые и итерационные.
Итерационные методы являются более простыми, чем прямые, и в
меньшей степени используют структуру матрицы. По этой причине
для решения двумерных разностных уравнений первоначально ис
пользовались исключительно итерационные методы. Однако в слу
чае разностных задач сходимость таких, например, методов, как
метод простой итерации, Зейделя, верхней релаксации, весьма мед
ленная. В настоящее время интенсивно развиваются и прямые ме
тоды решения двумерных разностных уравнений. Они применимы,
как правило, к уравнениям с разделяющимися переменными, когда
область изменения независимых переменных — прямоугольник. На
конец, следует отметить все возрастающее значение неявных ите
рационных методов, в которых решение на новой итерации находит
ся тем или иным прямым методом. Хотя такие методы алгоритми
чески сложнее, чем явные, их несомненным преимуществом явля
ется существенно более быстрая сходимость.
2.
Модельная задача. Методы решения двумерных разностных
краевых задач мы будем иллюстрировать в дальнейшем на сле
дующем простом примере. Рассмотрим задачу Дирихле для урав
нения Пуассона
дЧ
дЧ
дх
?
— — — f(x),
X = (xlt х2)
=
G,
и (х )=
0,
x = ( x h
х2) е Г
в единичном квадрате
G
(0Введем в
G
квадратную сетку с шагом
h,
т. е. множество точек
Qk = {хи = (x f, х<{>)},
где
х ^ — ih, х ^
=
jh, i, j=
1, 2, . . . ,
N
,
kN =
1. Пусть, как обычно,
(oh— множество внутренних точек и "р,— множество граничных то
чек сетки
Заменим исходную дифференциальную задачу разностной за
дачей
Ух 1Х1,а
+
Ух2хг,Ц = — f
‘Ь
Xii
^ “ Л,
(2)
которую будем рассматривать как модельную при изучении мето-
379
дов решения сеточных уравнений. Подробнее задачу (2) можно
записать в виде системы
Hi-i
,/
^ycj
Уи\,}
h?
~ 2«И
Л2
■
» и -
■f a
,
(
3
)
4
5
4
4 ]
/}
Do'stlaringiz bilan baham: |
