А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 6 гл. 3, другие прямые и итерационные методы 
будут изложены в гл. 5. Здесь же мы остановимся на методах ре­
шения уравнения (1), которые основаны на сведении многомерной 
задачи к последовательности одномерных задач. При таком сведе­
нии возникают разностные методы, сочетающие положительные 
стороны явной и неявной схем: абсолютную устойчивость и простоту 
решения. Начиная с пятидесятых годов, эти методы под различными 
названиями (методы переменных направлений, дробных шагов, 
расщепления, локально-одномерные методы) широко применялись 
для решения многомерных задач математической физики.
2. 
Пример метода переменных направлений. 
Рассмотрим по­
дробно одну из разностных схем метода переменных направлений 
для уравнения (1), называемую 
продольно-поперечной разностной
схемой
или 
схемой Писмена
— 
Рэчфорда.
В этой схеме переход от 
слоя 
п
к слою 
n+
1 осуществляется в два этапа. На первом этапе 
определяют промежуточные значения 
y ^ Vt
из системы уравнений
а на втором этапе, пользуясь найденными значениями 
y l f k,
на­
ходят г/"/1 из системы уравнений
У
-**— ^ + Ауп+1 = 0,
Т
Уц
— 
хАуц — F?it 
Xij
е
(oh,
( И )
= H -71. 
Ху
S Yh,
(
12
)
(13)
372
0,5т

---

Здесь разностные отношения Л4о, 
Аги
определены согласно (3J. 
Уравнение (12) является неявным только по переменному 
x t.
По­
этому уравнения (12), (13) можно решить последовательным при­
менением одномерных прогонок, сначала по направлению 
x t,
а за­
тем по направлению 
х2.
Этим обстоятельством и объясняется на­
звание метода.