А. А. Самарский, А. В. Гулин

h2 
" 4
Если, например, /г = 0,01, то устойчивость гарантируется при 
т ^ т 0, где 
Т о
= 0,25-10- \ Предположим, что надо найти решение 
задачи (1) при 
Т=].
Тогда, пользуясь схемой (2), надо совершить 
не менее чем и0 = 7’/то = 40 000 шагов по времени. Разумеется, счет 
с таким мелким шагом неприемлем для практики. По указанной 
причине при решении уравнений параболического типа избегают 
пользоваться явными схемами. В случае уравнений гиперболиче­
ского типа условия устойчивости позволяют взять шаг по времени 
того же порядка, что и шаг по пространству. Поэтому для гипер­
болических уравнений явные разностные схемы используются го­
раздо чаще, чем для параболических.
Рассмотрим теперь неявную схему для уравнения теплопровод­
ности
у
• * — 
у ■
 •
—
------ -- =Аг/"+1, если 
хц
е <ол, 
Ют,
X 
'
y lf1 := У (■%!/>
^n+i)> если 
Хц 
Ez y>i,
(10)
Уц
=
ио (х'и),
если 
хц
S Qfc, 
п
= 0.
13
371

---

Эта схема устойчива при любых шагах т и 
h.
Действительно, схему
(10) с р = 0 можно записать как операторное уравнение
где 
у ^ . Н (н
и оператор 
А
определен согласно (4). Таким образом, 
неявная схема (10) имеет канонический вид (7), где 
В = Е + хА,
причем условие устойчивости (8) всегда выполнено.
Однако недостатком неявной схемы (10) является необходимость 
решения на каждом временном слое системы уравнений
Решение подобных систем уравнений представляет значитель­
ную трудность. Методы, предназначенные для решения систем ли­
нейных алгебраических уравнений общего вида (см. часть II, гл. 2), 
здесь непригодны из-за слишком большого размера системы. Дей­
ствительно, если положить, например, 
h1 = h2=Q,0l
и /, = /2=1, то 
число неизвестных 
уц
в системе (11) окажется равным примерно 
10 000. Положение усугубляется еще тем, что систему (11) необхо­
димо решать многократно (на каждом временном слое).
Можно предложить приемлемые методы решения, учитывающие 
специальный вид матрицы системы (11). Один из таких методов 
рассматривался 
в