А. А. Самарский, А. В. Гулин

начальным данным. 
Будем рассматривать 
задачу Коши
By а
+
x2Ry-tt
-f 
Ауп
= 0, 
(8)
где 
п= 1,2, 
, К
— 1, 
Уо, yi
заданы.
364

---

Предполагаем, что существует оператор 
(B-\-2xR)~l,
и
,
следо­
вательно, уравнение (8) однозначно разрешимо относительно уп+1. 
Будем считать сейчас, что 
Н
— конечномерное пространство со ска­
лярным произведением ( , ). Справедлива следующая теорема о
равномерной устойчивости схемы (3) по начальным данным.
Т е о р е м а 1. 
Пусть А и R являются самосопряженными поло­
жительными операторами, не зависящими от п. Если выполнены
операторные неравенства
R > \ A , в г
3=0, 
(9)
4
то при любых
у„, 
У ^ Н для решения разностной схемы
(8) 
справед­
ливо неравенство
11Уп+1|1.^11Уп11., 
п = \ , 2 , . . . , к ,
(Ю)
где
II 
У а
||^ 
— 
(уп
+
Уп~
i), 
Уп
+
У а
—
i) +
(J^R
— — Лj 
(уП
— 
Уп-
1
), 
Уп
— 
Уп
- 1
j.
(
11
)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Представим схему (8) в виде двуслойной 
схемы
~ уП + .Ау* = 0,
п = 1, 2, . 
— 1, 
(12)
т
где вектор упе Я 2 и операторы 
si, 9$
определены согласно (6), (7). 
Для схемы (12) задано начальное значение 
у 1=
{0,5(уа-(-у,), 
у
t—y j .
Покажем, что схема (12) удовлетворяет всем условиям теоремы 2 
из § 2. Из самосопряженности операторов 
A, R
и из операторных
неравенств Л > 0 , 
— 
А
следует, что оператор 
s i
(см. (7)) яв­
ляется самосопряженным и положительным оператором в прост­
ранстве 
Н1.
Поэтому в Я 2 можно определить норму flofl^, порож­
денную оператором 
s i.
Для вектора 
v= {v,,
н2} норма 
\\v\\^
опреде­
ляется следующим образом:
\ \ v t i =
( A v 1 , v J +
^ R —
^ A )
v
2 , 
v
2 ) .
Отсюда для решения задачи (5) yn= {0,5(yn- f ув_,), у„—уп_,} имеем 
II
УП
|& =
]-( А (Уп
+
Уп-
1
), 
Уа + Уа-
1
) +
— у
л) 
(Уа — Уа-i), Уа ~ Уа
-i j ,
т. е- 
\Уп\л
совпадает с нормой ||у„||„ определенной согласно (11). 
Проверим выполнение операторного неравенства
^ ^ 0 , 5 т
si,
(13)
которое согласно теореме 2 из § 2 обеспечивает равномерную устой-
365

---

чивость схемы (12) по начальным данным. Из определения (7) опе­
раторов 
и 
$
получаем
Для любого элемента 
v — {vu
о3} е Я 2 имеем
(.33
— 0,5т 
.A) v
=
+ т ( Я -----
l- A } v 2,
—т | /?---
- A
j
.
Обозначим ( , )яч ( , )н скалярные произведения в Я 2 и в Я со­
ответственно. Тогда получим
((59 — 0,5т
Л) v
, о)н* =
(Bvu vt)H
+
+ T((# — 
~4A ) V2’ V
i
^
h
~ T {{R ~~~4A )Vi' V‘'-)H = ^BVl' V^ h'
причем последнее равенство справедливо в силу самосопряженно­
сти оператора 
R
— у
А.
Таким образом, из неотрицательности в Я оператора 
В
следует 
выполнение условия устойчивости (13). В силу теоремы 2 из § 2 
для решения задачи (12) справедлива оценка 
\\уп+'\\^
s S lIrlL , ко­
торая, как мы показали, совпадает с оценкой (10) для решения 
задачи (8). Теорема 1 доказана.