А. А. Самарский, А. В. Гулин

где
Уц 
х 
—
р 
(Хц, 
tn + i),
 
если 
Xij
е 7ft, 
tn.
S « т, 
у».
= u0 (xl7), 
если 
Хц
О;,, л — О,
Ay ij
— Л
1
/Д
7
-f- Ajj/ij
— yXiXuii —
Уиг,1-2УЦ + У,
1-1,/
Л^г/ — 
Ухгх,,ц —
Уц+1
~ 2 
Уц+Уи-!
hi
(2)
(3)
Решение разностной схемы (2) находится по слоям с помощью яв­
ной формулы
У™ = y b + ^ y u ,
я = 0, 1, . . . . А — 1, 
х ц & щ ,
причем используются начальные и граничные условия, заданные 
согласно (2). Таким образом, преимуществом явной схемы являет­
ся простота нахождения значений 
упЛх
решения на верхнем слое. 
Существенным недостатком этой схемы, не позволяющим исполь­
зовать ее при практических расчетах, является условная устойчи­
вость. Найдем условие устойчивости по начальным данным схемы 
(2), опираясь на теорему 2 из § 2. При исследовании устойчивости 
будем предполагать, что граничные условия р(х, 
t)
равны нулю.
Введем пространство 
функций, заданных на сетке 
и рав­
ных нулю на 
7
Л, со скалярным произведением
М-1 
М-1
(у, У)
=
2
hi
2
к*учич-
*=1
 
/=1
Определим в 
Н'^
оператор 
А
формулами
(Лу)ц= (A1y ) ij+ (A2y ) ih
если хиеЕ<щ,
М ч
= -
У м - М и =
 -
У-м
-,
 
(4)
Уч =
0, если Xye^ft.
Оператор 
А
(пятиточечный разностный оператор Лапласа) изу­
чался в § 2 гл. 3. Было показано, что 
А
— самосопряженный поло­
жительный оператор, для которого при любых г / е Я{,0) справедли­
во неравенство
( A y , p ) < A | | ( / f ,
Д = 4 - + " 7 -
(5)
К 
К
370

---

Если записать схему (2) с р, = 0 как операторное уравнение в 
пространстве 
H t \
то оно примет вид
- М~ У- +
Ауп
 = 0. 
(6)
X
где 
yn= y {tn)e^H b\
Таким образом, схема (2) имеет канонический 
вид
В
 —+1 
+
Ауп
 = 0, 
(7)
X
где Л определен согласно (4) и б = £ — единичный оператор. Усло­
вие устойчивости (см. теорему 2 из § 2)
В5аО,5тЛ 
(8)
в данном случае (при 
В = Е)
означает, что при любых 
yEL
#10) 
должно выполняться неравенство
||г/||2^0,5т(Лг/, 
у).
Отсюда, учитывая (5), получаем, что схема (2) устойчива по на­
чальным данным при условии
Это условие накладывает очень жесткое ограничение на шаг по 
времени т. Пусть, для определенности, 
hl = h2 = h.
Тогда неравен­
ство (9) примет вид