А. А. Самарский, А. В. Гулин

ди д2и
dt 
дх2 ’
О < х <
О <
t
<
Т,
(4)
и ( х , 0 ) = и 0(х), и (0, t) =p, (t ), и(1, t ) = p 2(t).
Эти схемы подробно выписывались в § 4 из гл. 1 (см. схему (15) 
при 
= 0 из § 4 гл. 1), поэтому мы не будем формулировать 
разностную задачу в полной постановке, а приведем только одно
304

---

у р а в н е н и е
— Ус
(5)
Ус
Найдем, при каких значениях параметров т, ft, о схема (5) бу­
дет монотонной. Чтобы записать уравнение (5) в виде (1), (2), 
разрешим его относительно 
у1+х.
Тогда получим уравнение
у Г
=
ау О С -
2
уТх 
+
уТ-1) 
+ (1 -
о) у
(i£+1 -
2у?
+
yU)
+
y l
у = т//г2
или
( 1 + 2
oy
) ^ +1 =
= (1 - 2 (1 - а) у) 
у?
+ ау (г/ГЛ1 +
у'Щ) 
+ (1 - а) у 
(y'!+l +
yU)
. 
(6)
Отсюда видно, что в каждом узле 
х = ( х и
fn+1) шаблон ZZ/(х) 
состоит из шести точек, а окрестность 
Ш'(х)
точки (х,, 
tn+i)
со­
стоит из пяти точек 
(xi±t, t n+l), {xh tn), (xi±l, t n).
Условия положи­
тельности коэффициентов (3) сводятся к неравенствам 0 < о < 1 , 
о>1 —1/(2^). Заметим, что схема останется монотонной и в том 
случае, если эти неравенства заменить на нестрогие, т. е. потре­
бовать
O sgas^l, 
a S s l - l / ( 2 f ) . 
(7)
Действительно, выполнение одного из условий (7) со знаком 
равенства означает лишь, что окрестность 
Ш'(х)
состоит не из 
пяти, а из меньшего числа узлов. Например, при о=0 (явная схе­
ма) окрестность 
Ш'(х)
состоит из точек 
(xu tn), (xi±i, tn)
и условие 
монотонности (7) принимает вид
Если о=0, т/й2=0,5, то два из трех неравенств (7) выполнены 
со знаком равенства. В этом случае надо считать, что окрестность 
Ш'(х)
состоит из двух узлов (jci±1, 
tn)-
Итак, схема с весами (5) является монотонной при условиях (7), 
а чисто неявная схема (о=1) монотонна при любых т и ft. Шести­
точечная симметричная схема (о=0,5) монотонна при условии 
t ^ f t 2. В § 4 из гл. 1 отмечалось, что необходимым условием устой­
чивости схемы (5) является условие
а Дз
2
4у
О)
Сопоставляя с (7), видим, что монотонность является, вообще 
говоря, более сильным требованием, чем просто устойчивость. 
В следующей главе будет показано, что условие (9) достаточно 
для устойчивости схемы (5), однако не в сеточной норме С, а в 
среднеквадратичной норме.
305

---