А. А. Самарский, А. В. Гулин

§ 5. Монотонные разностные схемы для уравнений
второго порядка, содержащих первые производные
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вто­
рого порядка
u " { x ) + r ( x ) u , ( x ) = —f(x),
0 < х < 1 , ы( 0 ) = и ( 1 ) = 0
(1)
и поставим задачу построить для него разностную схему, имею­
щую второй порядок аппроксимации и монотонную при любых ша­
гах сетки 
h.
Очевидная схема второго порядка аппроксимации, ко­
торая получается заменой 
и'(х)
центральной разностной производ­
ной, является монотонной лишь при достаточно малых 
h.
Дейст­
вительно, такая схема имеет вид
или
У i+1 
"f- */,-_!
Ла
+ п
У i+i 
Vi-\
2 
h
п
b y i ~ { ~ k + m ) yi+1+ { i - ~ u ) yc- 1 + f i -
Условия положительности коэффициентов сводятся к неравенст­
вам 0,5/г|г,-|<1 и выполняются, если /г^ 2 /( шах |г,|). Схема будет
монотонной при любых 
h
только в случае 
г{х)
= 0 .
Прежде чем построить требуемую схему для уравнения (1), 
рассмотрим несколько частных случаев. Предположим, что г ( х ) ^
2^0 для всех х е ( 0 , 1) и рассмотрим схему с односторонней раз­
ностью
У it
-1 
^Ус~\~ У1-1
 
. 
У t+i 
y t 
с
---------
Г 
Гi 
------;------=
—
fi.
hl
.308

---

Эта схема имеет первый порядок аппроксимации и монотонна 
при любых 
h.
Действительно, записывая ее в виде
W