А. А. Самарский, А. В. Гулин

2. Задача на собственные значения. 
Задача на собственные зна­
чения для оператора 
А
состоит в том, чтобы найти числа 
X
(
собст­
венные числа
или 
собственные значения
) такие, для которых урав­
нение
А у = Х у
(7)
имеет нетривиальные решения 
(собственные функции),
и найти 
собственные функции. Заметим, что по существу уравнение (7) для 
оператора (6) представляет собой алгебраическую задачу па соб­
ственные значения для матрицы
"
2
—
1
0
0
.
. 
.
0
0
o
-
—
1
2
—
1
0
. 
. 
.
0
0
0
0
—
1
2
—
1
.
.
.
0
0
0
0
0
0
0
. 
. 
.
—
1
2
— 1
0
0
0
0
. 
. 
.
0
— 1
2
_
которая называется матрицей разностного оператора (6). Матри­
ца 
А
является трехдиагональной симметричной матрицей порядка 
N
—1. Известно, что у такой матрицы существуют 
N
—1 действи­
тельных собственных чисел и столько же линейно независимых соб­
ственных функций.
В случае оператора (6) можно выписать все собственные числа 
и отвечающие им собственные функции в явном виде. Эти вопросы 
уже рассматривались в § 4 ч. I. Напомним полученные там резуль­
таты. Запишем уравнение (7) в виде
— 
Ухх.с — ^У^
£ = 1. 2........ Л7 — I, 
y0= y N =
0, 
hN
=
I,
(8)
или подробнее
y i+i + yi- l= ( 2 ~ h 2X)yi,
t '= l , 2, . . . ,