9-mavzu shakli o‘zgargan Koshi masalasi

SHakli o‘zgargan Koshi masalasi. sohada (1) tenglamaning Ushbu
, , (1.116)

, , (1.117)

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar echimi topilsin, bu erda , -berilgan funksiyalar, o‘qining intervali.

SHakli o‘zgargan Koshi masalasini Riman metodi yordamida echamiz. (1.115) tenglama quyidagi xarakteristik koordinatalarga nisbatan:

, , (1.118)

,

ushbu

, (1.119)

Eyler-Puasson-Darbu tenglamasiga o‘tadi, bu erda

,

(1.118) akslantirishda tekilikdagi soha tekislikdagi

uchburchakka akslanadi: bu uchburchakning uchlari , va nuqtalarda bo‘lib tomonlari , ; ; kesmalardan iborat, bu almashtirishda (1.116) va (1.117) shartlar ushbu

, , (1.120)

, . (1.121)

ko‘rinishda bo‘ladi.

119. 
     tenglama bilan birgalikda unga qo‘shma
     

. (1.122)

tenglamani ham o‘rganamiz.

Giperbolik tenglamalar nazariyasida -Riman funksiyasi fundamental ahamiyatga ega va u (1.119) tenglama uchun quyidagicha aniqlanadi:

1) - o‘zgaruvchi bo‘yicha (1.122) qo‘shma tenglamaning echimi bo‘ladi;

2) , xarakteristikalarda funksiya ushbu

(1.123)

(1.124)

qiymatlarni qabul qiladi, bu erda , .

(1.119) tenglama uchun Riman funksiyasi ushbu

, (1.125)

ko‘rinishga ega, bu erda Gaussning gipergeometrik funksiyasi va

.
orqali : va to‘g‘ri chiziqning kesmasi bilan chegaralangan uchburchakni belgilaymiz, bu erda

va funksiyalar uchun ushbu

(1.126)
ayniyat o‘rinli, (1.126) tenglikni soha bo‘yicha integrallab keyin esa Gauss-Ostragradskiy formulasini qo‘llab va , ayniyatlarni hisobga olib, ushbu

tenglikka kelamiz, bu erda - soha chegarasi. Endi da: , da: ekanligini e’tiborga olib oxirgi tenglikni ushbu

(1.127)

ko‘rinishda yozib olamiz.

(1.127) tenglikning oxirgi ikki integralini, aniqrog‘i ning hosilalari qatnashgan hadlarini, bo‘laklab integrallab ushbu

(1.128)

(1.129)
ifodalarni hosil qilamiz. (1.123) va (1.124) tengliklarga ko‘ra (1.128) va (1.129) tengliklarning o‘ng tomonidagi integrallar nolga, ga tengdir.

SHunday qilib, yuqorida aytilganlarni hisobga olib, (1.127) tenglikni Ushbu

(1.130)

ko‘rinishda yozib olamiz.

(1.130) munosabatga Riman formulasi deyiladi.

Endi nuqtaning kvadratda joylashishga qarab (1.115) tenglama uchun (1.116) va (1.117) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi shakli o‘zgargan Koshi masalasi echimini beruvchi formulalarni keltirib chiqaramiz.