9 Ma’ruza ko’rsatkichli funksiya. Trigonometrik va giperbolik funksiyalar

Trigonometrik va giperbolik funksiyalar.

Trigonometrik hamda giperbolik funksiyalar ko’rsatkichli funksiyalar orqali kiritiladi.

Ta’rif1.

Ushbu

,


,

Ko’rinishdagi funksiyalar trigonometrik funksiyalar deyiladi. va W=Cosz funksiyalar butun kompleks tekslik C da aniqlangan, W=tgz funksiya

\
to’plamda W=ctgz funksiya esa C\ to’plamda aniqlangan.
Quyidagicha ,


S

aniqlangan funksiyalar giperbolik funksiyalar deyiladi. Trigonometrik hamda giperbolik funksiyalar o’zaro quyidagi Sosz=Chz , Sinz=-iShiz , thz=-itgiz Chz=Cosiz, Shz=-iSiniz , Cthz=iCtgiz munosabatlar bilan bog’langan.Biz ulardan birining, masalan Shz=-iSiniz bo’lishini ko’rsatamiz:

1. 
   va(2) munosabatlardan foydalanib topomiz:
   

Demak

Shz=-iSiniz

Biz quyida trigonometrik funksiyalarning ba’zi xossalarini keltiramiz

1. 
   Ushbu
   

1)
2)
3)
4)
5)
Bu formulalarning o’rinli bo’lishini ko’rsatish kiyin emas.W=Sinz va W=Cosz Funksiyalarning ta’riflaridan foydalanib topamiz:

Kolgan tengliklar ham sho’nga o’xshash isbotlanadi.
2.W=Sinz tok funksiya,W=Cosz esa juft funksiya bo’ladi.
Bu xossaning o’rinli bo’lishini W=Sinz,W=Cosz funksiyalarning ta’riflaridan bevosita kelib chiqadi.
Trigonometrik funksiyalar davriy bo’lib, W=Sinz,W=Cosz funksiyalarning davri2 ga, W=tgz,W=Ctgz funksiyalarning davri esa  ga teng.
Haqiqatan, W=Sinz, funksiya ta’rifi hamda bo’lishini etiborga olib topamiz:
Demak,

Bu esa W=Sinz davriy funksiya va uning davri 2 ga teng bo’lishini bildiradi.
W=tgz funksiya ta’rifidan foydalanib,ushbu

tenglikka kelamiz.
Demak tg(z+)=tgz.
Sho’nga o’xshash W=Cosz,W=Ctgz funksiyalarning davriy funksiya ekanligi ko’rsatiladi.

1. 
   W=Sinz va W=Cosz funksiyalar da hosilaga ega bo’lib (Sinz)=Cosz, (Cosz)=-Sinz, bo’ladi.
   

W=tgz funksiya da hosilaga ega bo’lib
(3)
bo’ladi.
W=stgz funksiya da hosilaga ega bo’lib, ……………………………… (4)
bo’ladi.
Haqiqatan ham,


Xuddi sho’nga o’xshash (3) va (4) formulalarning to’g’riligi ko’rsatiladi.
Izox. Haqiqiy argumentli funksiyalarning qiymatlari [-1,1] kesmada bo’lishini bilamiz.
Kompleks argumentli funksiyalarning qiymatlari modul jixatdan birdan katta bo’lishi ham mumkin: