|
11 .Bir o`zgaruvchili tenglamalar. Bir o’zgaruvchili tenglamalar.Teng kuchli tenglamalar.
x o’zgaruvchili f (x) vaf (x) ifodalar berilgan bo’lsin, bunda x X o’zgaruvchi birorta to’plamning qiymatlarini birin-ketin qabul qiladi. Bir o’rinli f (x)=f (x), x X predikatga bir o’zgaruvchili tenglama deyiladi. Tehglamani yechich x o’zgaruvchining qiymatlarini topish,ya’ni berilgan predikatning rostlik qiymatlar to’plamini topish demakdir, bu qiymatlarni tenglamaga qo’yganda to’g’ri tenglik hosil bo’ladi.
f (x) = f (x), x X tenglamada x o’zgaruvchi qabul qilishi mumkin bo’lgan qiymatlar to’plamiga,tenglamaning aniqlanish sohasi deyiladi.Ta’rif. Agar ikki tenglamaning yechimlar to’plami teng bo’lsa, bu ikki tenglama teng kuchli deyiladi.Masalan,(x+1)2=9 va (x-2)(x+4)=0 tenglamalar haqiqiy sonlar to’plamida teng kuchli,chunki birinchi tenglamaning yechimlar to’plami {-4,2}, ikkinchi tenglamaning yechimlar to’plami {2,-4} ga teng.Quyida teng kuchli tenglamalar haqidagi teoremalar bilan tanishamiz.1. f(x)=g(x) tenglama X to’plamida berilgan va h(x) shu to’plamda aniqlangan ifoda bo’lsin.U holda f(x)=g(x)(1)va f(x)+h(x)=g(x)+h(x) (2) tenglamalar X to’plamda teng kuchli tenglamalar bo’ladi.
2. f(x)=g(x) tenglama X to’plamda berilgan hamda h(x) shu to’plamda aniqlangan va X to’plamdagi x ning hech bir qiymatida nolga aylanmaydigan ifoda bo’lsin.U holda f(x)=g(x) va f (x)·h(x)=g(x)· h(x) tenglamalar X to’plamda teng kuchli tenglamalar bo’ladi.
Agar tenglamaning ikkala qismi noldan farqli ayni bir songa ko’paytirilsa (yoki bo’linsa), berilgan tenglamaga teng kuchli tenglama hosil bo’ladi. 1- tenglamani yechamiz va uni yechishda qanday nazariy qoidalar qo’llanganligini aniqlaymiz.
12.Teng kuchli tenglamalar haqida teoremalar. Teng kuchli tenglamalar va teng kuchli tenglamalar
haqida asosiy teoremalar. Bizda chap va o‘ng qismlari mos ravishda f(x) va g(x) funksiyalardan iborat bo‘lgan (englama berilgan bo‘lsin. (1) tenglamaning aniqlanish sohasi D sonli to'plamdan iborat bo‘lsa, D = MXV\ M2 bo‘- ladi. Bu yerda Mx va M2 mos ravishda f(x) va g(x) funksiyalarning aniqlanish sohasidan iborat bo‘lgan sonli to'plamlardir. (1) tenglama D sohada ba'zi bir ayniy almashtirishlardan (umumiy maxrajga keltirish, qavslarni ochib chiqish, hadlami tenglamaning bir qismidan ikkinchi qismiga olib o‘tish, o‘xshash hadlarni ixchamlashtirish va h.k.) keyin ko'rinishni qabul qilsin. 4 - t a ’rif. Agar (1) va (2) tenglflmalarning ikkalasi
liarn bir xil yechimlarga ega bo‘lsa, y a ’ni yechimlari to'plamlari ustma-ust tushsa, bunday holda (1) va (2)
tcnglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. 3 - m i s o 1. 2*x " = 1 va 4x = x tenglamalar teng kuchli, chunki ulaming har biri ikkita ildizga ega: 0 va 1.
f x ) = g(x) (1)
f(x ) = gfx) (2) 4 - m i s o l . 10x2 + 57x + 47 = 0 va 5x + 6 = , 7
2x+9 tenglamalar teng kuchli, chunki ularning har biri bir xil ildizlarga ega: x, = - l, jc2 = -4,7. 5 - t a ’rif. Agar ( 1) tenglamaning barcha yechimlari
(2) tenglamaning ham yechimlari bo‘lsa, u holda (2)
tenglama (7) tenglamaning natijasi deyiladi. Masalan, (x- 2)(x- 3) = 0 tenglama x - 2 = 0 (x- 3 = 0) tenglamaning natijasi bo‘ladi, lekin x - 2 = 0 ( x - 3 = 0) tenglama (x- 2)(x- 3) = 0 tenglamaning natijasi bo‘lmaydi. Shunday qilib, agar ikkita tenglamadan har biri boshqasining natijasi bo‘lsa, bunday tenglamalar teng kuchli boiadi va quyidagicha yoziladi: /(x ) = g(x) /i (x) = gy (x). Berilgan f(x) = g(x) tenglamada qator almashtirishlar bajarib, uni /(x)=g,(x) tenglamaga keltirgan boiaylik. Bu tenglamaning ba’zi bir ildizlari fx ) = g(x) tenglamaning ildizlari boimasligi mumkin. Bunday holda fjx ) = gjx) tenglamaning bunday ildizlari f x ) = g(x) tenglamaning
chet ildizlari deyiladi. Masalan, Vx=-x tenglamaning ikkala qismini kvadratga koiarib, x = x2 tenglamani olamiz. Bu tenglama 0 va 1 ildizlarga ega. 0 ildiz /x = -x tenglamani qanoatlantiradi, lekin 1 ildiz esa Vx = -x tenglamani qanoatlantirmaydi, ya’ni bu ildiz berilgan tenglama uchun chet ildiz boiadi. Tenglamalami yechishda, odatda, har xil almashtirishlar bajariladi, natijada berilgan tenglama soddaroq tenglamaga (tenglamalar sistemasiga) keltiriladi. Shuning uchun qanday almashtirishlar berilgan tenglamani unga teng kuchli tenglamaga almashtirishini, qanday almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan tenglama berilgan tenglamaning natijasi bo‘lishini, qanday almashtirishlar natijasida ildizlarning yo‘qolishini va chet ildizlar paydo bo‘lishini bihshimiz muhimdir 1 “ t e 0 y e m a • A gar berilgan tenglam aning aniqlanish
sohasida umng chap va o ‘ng qism ida ayniy alm ashtirishlar
bajarilgan bo Isa, u holda berilgan tenglam aga teng kuchli
tenglam a hosil b o ia d i, y a ’ni (i) va (2) tenglam alarning
D aniqlanish sohasida f ( x ) s f ( x ) va g ( x ) . g ] (x)
bo Isa, u holda f ( x ) = g( x ) <=> /,( jc ) = gi (x) b o ia d i.
I s b o t . a) (1) tenglama yechimga ega bo‘lib, bu
yechimlarning biri x= a bo‘lsin. Tahifga ko‘ra f(a) ^ g(a)
va teorema shartiga ko‘ra esa f ( a) = f(a ) va g(a) = gfa)
bo‘ladi. TranzitivUk xossasiga ko‘ra:
/i(fl) = /(o), f(a ) = gx(a) va g(a)s gi(tf)
bo‘lib, bundan f(a ) = gt(a) bo‘lishi kehb chiqadi. Bu esa
(1) tenglamaning istalgan yechimi (2) tenglamaning
ham yechimi bo‘lishini bildiradi, ya’ni (1) => (2).
b) Faraz qilaylik, (2) tenglama yechimga ega bo‘lsin.
x=b bu yechimlarning istalgan bittasi bo‘lsin. Bunday
liolda f( b ) ^ g fb ) bo‘ladi.
Teorema shartiga ko‘ra f(b) = f(b ) va g(b )^g fb )
bo‘lib, bundan f(b)~g(b) bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak, (2) tenglamaning istalgan yechimi (1) tenglamaning ham yechimi bo‘lar ekan, ya’ni (2) => (1). Teoicmaning isbotini tugallash uchun agar (1) tenglama
yechimga ega bo‘lmasa, (2) tenglama ham yechimga ega
bolmasligini va teskarisini isbotlash qoladi. Buni qaramaqnrshisini faraz qilish usuli bilan isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, (1) tenglama yechimga ega bo‘lmasin,
(2) tenglama esa yechimga ega bo‘lsin. Bu esa oldin
isbotlanganiga, ya’ni (2) => (l)bo‘lishiga ziddir. Shunga
o'xshash, agar (2) tenglama yechim|a ega bolmasa, u
liolda (1) tenglama ham yechimg^ ega bo‘lmasligi
isbotlanadi.
Shunday qilib, (1) <=> (2). Teorema to‘la isbotlandi.
2 - t e o r e m a . Agar tenglam aning har ikkala qismiga
b ir x il son y o k i ten glam an in g an iqlan ish soh asida
aniqlangan bir x il ifoda qo‘shilsa, berilgan tenglam aga teng
107
www.ziyouz.com kutubxonasi
u holda f (x ) = g(x) f ( x ) + m ( x ) = g ( x ) + m ( x ) bo‘ladi.
N a t i j a . Tenglamaning istalgan hadini uning bir
qismidan ikkinchi qismiga qarama-qarshi ishora bilan olib
o‘tish mumkin. Natijada berilgan tenglamaga teng kuchh
tenglama hosil bo‘ladi.
3 - t e o r e m a . A gar tenglam aning h ar ikkala qism ini
nolga teng bo‘lm agan songa yo k i tenglam aning aniqlanish
sohasida aniqlangan va nolga teng bo‘lm agan ifodaga
k o ‘paytirilsa, berilgan tenglam aga teng kuchli tenglam a
hosil bo‘Iadi, y a ’ni agar m(x) (I) tenglamaning aniqlanish
sohasida aniqlangan b o ‘lib , m ( x ) * 0 b o ‘lsa, u holda
f ( x ) = g ( x ) o f ( x ) + m ( x ) = g ( x ) + m ( x ) b o ‘ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
