9 – Mavzu. Differensiallanuvchanlik va differensial. Differensialning geometrik ma’nosi. Differensial formasining invariantligi. Darsning texnologik haritasi

Teorema. funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. Ta’rifga binoan, bo’ladi, bunda .
Bu tenglikdan foydalanib topamiz.:

Demak, mavjud va
Yetarliligi. funksiya da chekli hosilaga ega bo’lsin. Ta’rifga ko’ra

bo’ladi. Agar

deyilsa, undan

bo’lishi kelib chiqadi, bunda da
2 – ta’rif. Funksiya orttirmasidagi ifoda f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi differensiali deyiladi. va df(x₀) kabi belgilanadi df(x₀)=
Aytaylik, nuqtada differensiallanuvchi funksiyaning grafigi 6 – chizmada tasvirlangan egri chiziqni ifodalasin:

Keltirilgan chizmadan ko’rinadiki, bo’lib, bo’ladi.

Demak, funksiyaning x nuqtadagi differensiali funksiya grafigiga (x, ) nuqtada o’tkazilgan urinma orttirmasi DC ni ifodalar ekan.
Faraz qilaylik, =x, x bo’lsin. Bu funksiya differensiallanuvchi bo’lib, , ya’ni bo’ladi. Shuni e’tiborga olib, da differensiallanuvchi bo’lib, funksiyaning differensialini ko’rinishda ifodalash mumkinligini hosil qilamiz.
Endi sodda funksiyalarning differensiallarini keltiramiz.:














2⁰. Funksiya differensialining sodda qoidalari. Faraz qilaylik, f(x) va g(x) funksiyalari da berilgan bo’lib, nuqtada differensiallanuvchi bo’lsin. U holda da
1.
2.
3.
4.
bo’ladi.
Bu tasdiqlardan birini, masalan 3) - sini isbotlaymiz.
Ma’lumki,

Agar

bo’lishiini e’tiborga olsak, unda quyidagi tenglikka kelamiz.:
Faraz qilaylik, funksiya to’plamda, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, va hosilalarga ega bo’lsin., u holda

bo’ladi.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib topamiz.:

Misol. Ta’rifdan foydalanib, ushbu f(x)=x-3x² funksiyaning x₀=2 nuqtadagi differensiali topilsin.
Yechish. Bu funksiyaning x₀=2 nuqtadagi orttirmasini topamiz.

Demak,