9- ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasi. Kroneker – Kapelli teoremasi

Teorema (Kroneker-Kapelli teoremasi). Chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lishi uchun uning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining ranglari teng bo’lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo’lsin. U holda uning biror yechimi mavjud va

dan iborat bo’lsin.

Bu yechimni (1) chiziqli tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o’rniga qo’ysak,

(2)

ega bo’lamiz.

Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:

(2´)

Bundan, (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi. Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo’lgan ustunni tashlab yuborilganda o’zgarmaydi. Kengaytirilgan matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy matritsasiga ega bo’lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.