9- ma’ruza. Chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy nazariyasi. Kroneker – Kapelli teoremasi

2-masala. Ushbu tenglamalar sistemasini tadqiq qiling, agar birgalikda bo’lsa uni yeching:

Yechish. Sistemaning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko’rinishga ega

.

Ikkinchi satr elementlarini mos ravishda birinchi va to’rtinchi satr elementlariga qo’shamiz, so’ngra birinchi satr elementlarini 4 ga va to’rtinchi satr elementlarini 5 ga bo’lamiz:

~ .
Uchinchi satr elementlaridan birinchi satrning mos elementlarini hamda beshinchi satr elementlaridan to’rtinchi satr elementlarini mos ravishda ayiramiz; so’ngra uchinchi va beshinchi satrlarni tashlab yuboramiz:

~ ; .

Oxirgi matritsaning determinantini topamiz:

.

Demak, . Kengaytirilgan matritsaning ham rangi 3.

Shunday qilib, sistema birgalikda. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalar rangi mos tushadi, ya’ni 3 ga teng hamda bu son noma’lumlar soni bilan ham mos tushadi. 1- xulosaga asosan sistema birgalikda va yagona yechimga ega. Uni topish uchun, birinchi, ikkinchi va to’rtinchi tenglamalardan tashkil topgan uchta noma’lumli bazis sistemani qaraymiz

Bu sistemaning determinanti noldan farqli bo’lganligi sababli, uni Kramera qoidasi bilan yechib yechimga ega bo’lamiz

Faraz qilamiz (1) chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin va bo’lsin. Sistema cheksiz ko’p yechimga ega.

Faraz qilamiz, sistemaning asosiy matritsasi ning rangi ga teng bo’lsin. U holda ta’rifiga ko’ra bu noldan farqli tartibli minorga ega. Biz yuqorida bunday minorni bazis minor deb atadik. Berilgan matritsaning bir nechta bazis minorlari bo’lishi mumkin. Ulardan birini fisirlaymiz. Faraz qilamiz, fiksirlangan minorimiz asosiy matritsaning birinchi ta satr va ta ustunidan iborat bo’lsin.

Bu minorning elementlari (1) sistema tenglamalaridagi ta birinchi bazis noma’lumlar oldidagi koeffitsientlardan iborat. Sistemada bazis noma’lumlarni chap tamonda qoldib, erkin noma’lumlar qatnashgan hadlarni esa sistemaning o’ng tamoniga o’tkazamiz. Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasida bazis noma’lumlar erkin o’zgaruvchilar orqali ifodalanadi. Bu yechim chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deb ataladi. Erkin o’zgaruvchilarga ixtiyoriy qiymatlar berilib, sistemaning xususiy yechimlarini topish mumkin. Agar umumiy yechimdagi erkin o’zgaruvchilarga nol qiymatni bersak, hosil bo’lgan yechim bazis yechim deb ataladi.

Yuqorida berilgan matritsa uchun bir nechta bazis minor mavjudligini ta’kidlagan edik. U holda ta tenglamadan tashkil topgan turli guruhlar bazis bo’la oladi. Lekin, umumiy ta sondan ta o’zgaruvchili bazislar soni chekli. Bazis yechimlar soni dan bo’yicha olingan guruhlar soniga teng, ya’ni . Demak, sistemadagi noma’lumlarni bazis va erkin o’zgaruvchilarga ajratish usulining miqdori son bilan chegaralangan.

(1) sistemadagi noma’lumlarni bazis va erkin o’zgaruvchilarga ajratishning har bir usuliga bitta bazis yechim mos keladi. Demak, sistemadagi bazis yechimlar soni dan katta emas.