8-Mavzu: Chegaralari o`zgaruvchi parametrga bog`liq integrallar 8-ma’ruza reja

8-Mavzu: Chegaralari o`zgaruvchi parametrga bog`liq integrallar

8-ma’ruza

REJA:
1⁰. funksiyaning uzluksizligi.

2⁰. funksiyani differensiallash.

Tayanch so’z va iboralar: parametrga bog`liq integral, funksiyaning uzluksizligi, funkisyani differensiallash.
Faraz qilaylik, funksiya

to`plamda berilgan va har bir tayin da funksiya o`zgaruvchining funksiyasi sifatida da integrallanuvchi bo`lsin. va funksiya­lar­ning har biri da berilgan va uchun

(1)

tengsizliklar bajarilsin.

Ushbu

integral, ravshanki, o`zgaruvchiga bog`liq bo`ladi:

. (2)

(2) integral chegaralari ham parametrga bog`liq integral deyiladi.

1⁰. funksiyaning uzluksizligi. funksiyaning uzluk­­sizligini quyidagi teorema ifodalaydi:

1-teorema. Faraz qilaylik, funksiya to`plamda uzluksiz bo`lib, va funksiyalar esa segmentda uzluk­siz bo`lsin. U holda

funksiya da uzluksiz bo`ladi.

◄Ixtiyoriy nuqtani olaylik. Integralning ma`­lum xossalaridan foydalanib topamiz:

(3)

Ravshanki,

integral chegarasi o`zgarmas bo`lgan parametrga bog`liq integral. Bu funksiya 75-ma`ru­zada keltirilgan 2-teoremaga muvofiq o`zgaruvchining uzluksiz funksiya­si bo`ladi. Demak,

da (4)

bo`ladi.

funksiya to`plamda uzluksiz bo`lganligi sababli shu to`plamda chegaralangan bo`ladi:

.

SHartga ko`ra va funksiyalar segmentda uzluksiz.

Demak,

da ,

da .

Endi

munosabatlardan

da , (5)

da

bo`lishini topamiz.

(3) tenglikda, da limitga o`tish va unda (4) va (5) muno­sabatlarni hisob­ga olish natijasida

da

bo`lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya da uzluksiz.►

2⁰. funksiyani differensiallash. Faraz qilaylik, funksiya

to`plamda, va funksiyalar esa segmentda berilgan bo`lib, , funksiyalar (1) shartni bajarsin, ya`ni uchun

bo`lsin.

2-teorema. [4, Proposition 2’, p.411] Aytaylik, , va funksiyalar quyidagi shartlarni bajar­sin:

1) funksiya to`plamda uzluksiz;

2) funksiya to`plamda uzluksiz xususiy hosi­laga ega;

3) va funksiyalar da va hosila­lar­ga ega.

U holda

funksiya segmentda hosilaga ega bo`lib,

bo`ladi.

◄ , nuqtalarni olib, topamiz:

.

Agar

bo`lishini e`tiborga olsak, unda

(6)

bo`lishi kelib chiqadi.

Avvalgi ma`ruzadagi 1- teoremaga ko`ra

(7)

bo`ladi.

O`rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib, topamiz:

Bunda nuqta nuqtalar orasida, esa , nuqtalar orasida joylashgan. da limitga o`tishi bilan quyidagi tengliklarga kelamiz:

(8)

YUqoridagi (6) munosabatda da limitga o`tib, (7) va (8) tengliklarni e`tiborga olib, ushbu

tenglikka kelamiz.

Demak,

. ►

Misol. Ushbu

funksiyaning hosilasi topilsin.

◄ Aytaylik, bo`lsin. Bu holda

bo`lib,

bo`ladi.

Aytaylik, bo`lsin. Bu holda

bo`lib,

bo`ladi.

Aytaylik, bo`lsin. Bu holda

bo`lib, bo`ladi.

Demak,



bo`ladi. ►