8-ma’ruza. Lopital qoidasi

8-ma’ruza. Lopital qoidasi
Tegishli funksiyalarning hosilalari mavjud bo‘lganda  ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish masalasi engillashadi. Odatda hosilalardan foydalanib, aniqmasliklarni ochish Lopital qoidalari deb ataladi. Biz quyida Lopital qoidalarining bayoni bilan shug‘ullanamiz.
1.  ko‘rinishdagi aniqmaslik. Ma’lumki,  da va  bo‘lsa,  ifoda  ko‘rinishdagi aniqmaslik deyilar edi. Ko‘pincha  da  ifodaning limitini topishga qaraganda  ifodaning limitini topish oson bo‘ladi. Bu ifodalar limitlarining teng bo‘lish sharti quyidagi teoremada ifodalangan.
1-teorema. Agar
1)  va  funksiyalar  , bu yerda  , to‘plamda differensiallanuvchi va shu to‘plamdan olingan ixtiyoriy  uchun  ; 2)  ; 3) hosilalar nisbatining limiti (chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti  mavjud va

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot.  Har ikkala funksiyani  nuqtada  ,  deb aniqlasak, natijada ikkinchi shartga ko‘ra
tengliklar o‘rinli bo‘lib, va  funksiyalar  nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
Avval  holni qaraymiz. Berilgan  va  funksiyalar  , bu yerda  , kesmada Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun  bilan   orasida shunday  nuqta topiladiki, ushbu  tenglik o‘rinli bo‘ladi.  ekanligini e’tiborga olsak, so‘ngi tenglikdan

bo‘lishi kelib chiqadi. Ravshanki,  bo‘lganligi sababli,  bo‘lganda  bo‘ladi. Teoremaning 3-sharti va (2) tenglikdan  kelib chiqadi.
Shunga o‘xshash,  holni ham qaraladi. 
1-misol. Ushbu  limitni hisoblang.
Yechish. Bu holda  bo‘lib, ular uchun teoremaning barcha shartlari bajariladi.
Haqiqatan ham, 1)  ; 2)  ;
3)  bo‘ladi.
Demak, 1-teoremaga binoan .
2-teorema. Agar  nurda aniqlangan  va  funksiyalar berilgan bo‘lib, 1)  da chekli  va  hosilalar mavjud va  , 2)  ; 3) hosilalar nisbatining limiti  (chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u holda funksiyalar nisbatining limiti  mavjud va

tenglik o‘rinli bo‘ladi.