8-ma’ruza. Lopital qoidasi

2.  ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar  da  ,  bo‘lsa,  ifoda  ko‘rinishidagi aniqmaslik deyilar edi. Endi bunday aniqmaslikni ochishda ham  va  funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.
3-teorema. Agar 1) va  funksiyalar  nurda differensiallanuvchi, hamda  , 2)  , 3)  mavjud bo‘lsa, u holda  mavjud va  bo‘ladi.
Isbot.  Teorema shartiga ko‘ra  mavjud. Aytaylik,  bo‘lsin. U holda  sonni olsak ham shunday  son topilib,  bo‘lganda

tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda  deb olishimiz mumkin. U holda  tengsizlikdan  kelib chiqadi.
Aytaylik,  bo‘lsin. U holda  kesmada  va  funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz:
, bu yerda  .
Endi  bo‘lganligi sababli  da (3) tengsizliklar o‘rinli:

bundan esa

tengsizliklarga ega bo‘lamiz.
Teorema shartiga ko‘ra  va  lar esa chekli sonlar. Shu sababli   ning yetarlicha katta qiymatlarida  kasr  kasrdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday   soni topilib,  larda

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy  son uchun shunday   soni mavjudki, barcha  larda (4) tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu esa  ekanligini anglatadi.
2-misol. Ushbu  limitni hisoblang.
Yechish.  ,   funksiyalar uchun 7.13-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar  da differensiallanuvchi; 2)  ; 3)  , ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham mavjud va  tenglik o‘rinli.
3. Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar. Ma’lumki,  bo‘lganda  ifoda  ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uning quyidagi

kabi yozish orqali  yoki  ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirish mumkin. Shuningdek,  bo‘lganda  ifoda  ko‘rinishidagi aniqmaslik bo‘lib, uni ham quyidacha shakl almashtirib

ko‘rinishdagi aniqmaslikka keltirish mumkin.
Ma’lumki,  da  funksiya  va  ga,  funksiya esa mos ravshda  va  intilganda  darajali-ko‘rsatkichli ifoda  ,  ,  ko‘rinishidagi aniqmasliklar edi. Bu ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochish uchun avval  ni logarifmlaymiz:  . Bunda  da  ifoda ko‘rinishdagi aniqmaslikni ifodalaydi.
Shunday qilib, funksiya hosilalari yordamida  ,  ,  ,  ,  , ko‘rinishdagi aniqmasliklarni ochishda, ularni  yoki  ko‘rinishidagi aniqmaslikka keltirib, so‘ng yuqoridagi teoremalar qo‘llaniladi.
1-eslatma. Agar  va  funksiyalarning  va  hosilalari ham  va  lar singari yuqorida keltirilgan teoremalarning barcha shartlarini qanoatlantirsa, u holda

tengliklar o‘rinli bo‘ladi, ya’ni bu holda Lopital qoidasini takror qo‘llanish mumkin bo‘ladi.
3-misol. Ushbu  limitni hisoblang.
Yechish. Ravshanki, x0 da  ifoda  ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘ladi. Uni logarifmlab,  aniqmaslikni ochishga keltiramiz:

Demak,  .