8-§. 7-mustaqil ish xosmas va parametrga bog`liq integrallar 1-tur xosmas integrallar va ularning yaqinlashishi

-B-

Mustaqil yechish uchun misol va masalalar.

1-masala. Quyidagi xosmas integrallar hisoblansin.

1.1	1.2
1.3	1.4
1.5	1.6
1.7	1.8
1.9	1.10
1.11	1.12
1.13	1.14
1.15	1.16
1.17	1.18
1.19	1.20
1.21

2-masala. Quyidagi II-tur xosmas integrallar hisoblansin.

2.1	2.2
2.3	2.4
2.5	2.6
2.7	2.8
2.9	2.10
2.11	2.12
2.13	2.14
2.15	2.16
2.17	2.18
2.19	2.20
2.21

3-masala. Quyidagi II-tur xosmas integrallarni yaqinlashishga tekshiring.

3.1	3.2
3.3	3.4
3.5	3.6
3.7	3.8
3.9	3.10
3.11	3.12
3.13	3.14
3.15	3.16
3.17	3.18
3.19	3.20
3.21

4-masala. Quyidagi xosmas integrallarni yaqinlashishga tekshiring.

4.1	4.2
4.3	4.4
4.5	4.6
4.7	4.8
4.9	4.10
4.11	4.12
4.13	4.14
4.15	4.16
4.17	4.18
4.19	4.20
4.21

5-masala. Quyidagi xosmas integrallar absolut va shartli yaqinlashishga tekshirilsin.

5.1	5.2
5.3	5.4
5.5 5.7	5.6 5.8
5.9	5.10
5.11	5.12
5.13	5.14
5.15	5.16
5.17	5.18
5.19	5.20
5.21

6-masala. Quyidagi xosmas integrallarning Koshi ma`nosidagi bosh qiymati topilsin.

6.1	6.2
6.3	6.4
6.5	6.6
6.7	6.8
6.9	6.10
6.11	6.12
6.13	6.14
6.15	6.16
6.17	6.18
6.19	6.20
6.21

7-masala. Quyidagi funksiyalarning berilgan to`plamda limit funksiyalarini toping va tekis yaqinlashishga tekshiring.

7.1

7.2

7.3

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

8-masala. Quyidagi funksiyalarning hosilalarini toping.

8.1	8.2
8.3	8.4
8.5	8.6

8.7 differensiallanuvchi funksiya;

8.8

8.9	8.10
8.11	8.12
8.13	8.14
8.15	8.16
8.17	8.18

8.19

8.20 differensiallanuvchi funksiya;

8.21 differensiallanuvchi funksiya;

9-masala. Quyidagi integrallarni ko`rsatilgan oraliqda tekis yaqinlashishga tekshiring.

9.1	9.2
9.3	9.4
9.5	9.6
9.7	9.8
9.9	9.10
9.11	9.12
9.13	9.14
9.15	9.16
9.17	9.18
9.19	9.20

9.21 fiksirlangan.

10-masala.

10.1 Agar va uchun integral mavjud bo`lsa, unda ushbu



Frullani formulasini isbotlang.

10.2 integraldan foydalanib, ushbu



Dirixle formulasini isbotlang.

Quyidagi integrallarni hisoblang.

10.3	10.4
10.5	10.6
10.7	10.8
10.9	10.10
10.11	10.12
10.13	10.14
10.15	10.16
10.17	10.18
10.19	10.20
10.21

11-Masala. Quyidagi integrallarni hisoblang.

11.1	11.2
11.3	11.4
11.5	11.6
11.7	11.8
11.9	11.10
11.11	11.12
11.13	11.14
11.15	11.16
11.17	11.18
11.19	11.20
11.21

Ko`rsatma. 10 va 11-masalalarni yechishda xosmas integrallarni parametr bo`yicha differensiallash yoki integrallash hamda Frullani va Dirixle integrallaridan foydalanish yaxshi natija beradi.

12-Masala. Eyler integrallaridan foydalanib quyidagi integrallarni hisoblang.

12.1	12.2
12.3	12.4
12.5	12.6
12.7	12.8
12.9	12.10
12.11	12.12
12.13	12.14
12.15	12.16
12.17	12.18
12.19	12.20

12.21

-C-

Namunaviy variant yechimi.

1.21-Masala. Quyidagi



xosmas integral hisoblansin.

Bu integralni hisoblash uchun xosmas integralda bo`laklab integrallash usulidan foydalanib, quyidagi ishlarni bajaramiz.

Demak,

. Shunday qilib, berilgan integral I ga nisbatan ushbu

tenglamaga keldik. Bu tenglamadan

ekanligini hosil qilamiz.

2.21-Masala. Quyidagi



II-tur xosmas integral hisoblansin.

va nuqtalar integral ostidagi funksiyaning maxsus nuqtalari bo`ladi. Agar integralda

almashtirish bajarsak, berilgan xosmas integral oddiy xos aniq integralga kelib qoladi. Darhaqiqat,

Bu ifodalarni berilgan integrallarga olib borib qo`yib topamiz:

3.21-Masala. Quyidagi



integralni yaqinlashishga tekshiring.

Integral ostidagi funksiya uchun bo`lganda nuqta, bo`lganda esa nuqta maxsus nuqta bo`ladi. Shu sababli integrallash oralig`ini ikkiga ajratamiz:



da da bo`lganligi va integral da integral da yaqinlashishini e`tiborga olsak, taqqoslash alomatiga ko`ra integral va integral bo`lganda yaqinlashishini hosil qilamiz Berilgan integral da yaqinlashadi.

4.21-Masala. Quyidagi

integralni yaqinlashishga tekshiring.

1) Faraz qilaylik bo`lsin. deb belgilasak, bo`ladi. Unda

uchun bo`ladi

da bo`ladi

desak, integral oddiy uzluksiz funksiyaning integrali bo`lgani uchun yaqinlashuvchi.

integral esa taqqoslash alomatiga ko`ra yaqinlashuvchi, chunki yaqinlashuvchi.

Shunday qilib, integral bo`lganda uchun yaqinlashuvchi.

2) Endi bo`lsin.



3) bo`lsin. Bunda deb belgilab, 1)-holda bajargan ishlarni bajarsak, berilgan integralning uzoqlashuvchi ekanligiga ishonch hosil qilamiz.

Demak, berilgan integral bo`lganda va bo`lganda, lar uchun yaqinlashadi. Qolgan barcha hollarda esa uzoqlashadi.

5.21-masala. Quyidagi



integral absolut va shartli yaqinlashishga tekshirilsin.

Berilgan integralning yaqinlashishini Dirixle alomatidan foydalanib, ko`rsatamiz.

va

deb belgilaymiz va Dirixle alomatining shartlarini tekshiramiz:

1. 
   va ning boshlang`ich funksiyasi -chegaralangan;
   
2. 
   funksiya da va
   
3. 
   
   

Dirixle alomatining shartlari bajarilayapti

yaqinlashuvchi.

Berilgan integral absolut yaqinlashuvchi emas. Bu tasdiq

tengsizlikdan va

integralning uzoqlashishidan kelib chiqdi. Oxirgi integralning uzoqlashishini 1⁰-punktda keltirilgan 2)-misoldan foydalanib, ko`rsatish qiyin emas. Shunday qilib, berilgan integral shartli yaqinlashuvchi.

6.21-Masala. Xosmas integralning Koshi ma`nosidagi bosh qiymati topilsin:

Agar ekanligidan foydalanib, yuqoridagi limitlarni hisoblasak, tenglikni hosil qilamiz.

7.21-Masala. to`plamda berilgan funksiyaning nuqtadagi limit funksiyasini toping va tekis yaqinlashishga tekshiring.

limit funksiya. funksiya ga tekis yaqinlashuvchi ekanligini 4⁰-punktdagi 3-ta`rifdan foydalanib ko`rsatamiz. va quyidagi ayirmani olamiz.

Demak, olinganda ham deb olsak, tengsizlikni qanoatlantiruvchi va lar uchun tengsizlik bajariladi. Bu esa da funksiya ga tekis yaqinlashuvchi ekanligini anglatadi.

8.21-Masala. Agar

bo`lib, -differensiallanuvchi funksiya bo`lsa, ni toping.

Bu masalani 4⁰-punktdagi 7-teorema va (10)-tenglikdan foydalanib yechamiz. Teoremaning shartlari bajarilishi ko`rinib turibdi. (10)-formuladan ikki marta foydalanish natijasida talab qilingan hosilani topamiz:

9.21-Masala. Quyidagi

integralni -fiksirlangan bo`lganda tekis yaqinlashishga tekshiring.

Berilgan integralning tekis yaqinlashishini Abel alomatidan ( -punktdagi 3-teorema) foydalanib, ko`rsatamiz. va deb belgilab, Abel alomatining shartlarini tekshiramiz.

1. 
   funksiya har bir fiksirlangan uchun monoton va , to`plamda chegaralangan .
   
2. 
   integral Dirixle alomatiga ko`ra to`plamda tekis yaqinlashuvchi. Abel teoremasining shartlari bajarildi. berilgan intengral to`plamda tekis yaqinlashadi.
   

10.21-Masala. Quyidagi



integral hisoblang.

deb belgilab olib, bu integralni parametr bo`yicha differensiallash amalidan foydalanib hisoblaymiz. Buning uchun avval xosmas integrallarda parametr bo`yicha differensiallash mumkinligi haqidagi 6⁰-punktda keltirilgan 3-teoremaning shartlari bajarilishini ko`rsatamiz.

va

deb belgilaymiz.

tengsizliklar va , integrallar yaqinlashuvchi ekanligidan Veyershtrass alomatiga ko`ra va integrallarning to`plamda tekis yaqinlashishini hosil qilamiz. Demak berilgan integraldan parametr bo`yicha xosila olish mumkin:

Bu integralda almashtirish bajarib,

bo`lishini topamiz. Bu tenglikdan ni topamiz. bo`lganda

Xuddi shu kabi bo`lganda ekanligini topamiz. Ikkala javobni umumlashtirsak, tenglikni hosil qilamiz.

11.21-Masala. Quyidagi



integralni hisoblang.

Bu integralni ushbu tenglik va parametrga bog`liq integrallarni parametr bo`yicha integrallash haqidagi teoremadan foydalanib hisoblaymiz:

integralda ikki marta bo`laklab integrallasak, I ga nisbatan chiziqli tenglama hosil qilamiz va



12.21-Masala. Eyler integrallaridan foydalanib, quyidagi



integralni hisoblang.

Berilgan integralni Eyler integraliga keltirish uchun shunday almashtirish bajarishimiz kerakki, natijada kesma kesmaga o`tsin. Buning uchun almashtirish bajarish kifoya.

Agar berilgan integralda shu almashtirishni bajarsak,

va

bo`lib, u quyidagi ko`rinishga keladi va oson hisoblanadi:

Natija. Agar berilgan integrallarda m va n lar natural sonlar bo`lsa, unda

bo`ladi.