79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

79.4. Hodisa ehtimolligining ta’riflari

1. Hodisa ehtimolligining klassik ta’rifi. Biror tajriba natijasida chekli sondagi e₁, e₂, e₃,…, e_n elementar hodisalardan birortasi ro’y berishi mumkin bo’lib bu hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan teng imkoniyatli hodisalarning to’la guruhini tashkil etsin. A hodisa e₁, e₂, e₃,…, e_n hodisalar orasida lar ro’y berganda ro’y bersin . Bu holda lar A hodisaga qulaylik tug’diruvchi hodisalar deyiladi.

Faraz qilaylik n ta e₁, e₂, e₃,…, e_n elementar hodisalardan m tasi A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’dirsin.

10-ta’rif. Ushbu son A hodisaning ehtimolligi deb ataladi va uni P(A) kabi yoziladi: P(A)= .

Demak, A hodisaning ehtimolligi A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diruvchi hodisalar sonining teng imkoniyatli barcha elementlar hodisalar soniga nisbatiga teng.

6-misol. Tajriba, tangani uch marta tashlashdan iborat bo’lib, tajriba natijasida ikki marta gerbli tomon tushishi (A hodisa) hodisaning ehtimolligi topilsin.

Yechilishi. Tangani uch matra tashlashda ro’y berishi mumkin bo’lgan elementar hodisalar to’plami

Ω={e₁=(GGG), e₂=(GGR), e₃=(GRR), e₄=(RRR), e₅=(RGR), e₆=(RRG), e₇=(GRG), e₈=(RGG)} bo’lib, uning elementlarining soni n=8.

Ω dan ko’ramizki e₂, e₇, e₈ elementar hodisalar A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diradi, ya’ni m=3.

Demak,

Hodisa ehtimolligining ta’rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi.

1. 
   Har qanday A hodisaning ehtimolligi 0≤P(A)≤1 bo’ladi.
   
2. 
   Muqarrar hodisaning ehtimolligi 1 ga teng, ya’ni P(U)=1.
   
3. 
   Mumkin bo’lmagan hodisaning ehtimolligi 0 ga teng, ya’ni P(V)=0.
   

7-misol. Telefon nomerini tera turib, abonent oxirgi ikkita raqamni esdan chiqarib qo’ydi va faqat shu raqamlarning har xilligini eslab, ularni tavakkaliga terdi. Kerakli raqamlar terilganligi hodisasi B ning ehtimolligini toping.

Yechilishi. Har xil raqamlar juftini o’nta raqamdan ikkitadan o’rinlashtirishlar nechta bo’lsa, hammasi bo’lib shuncha marta, ya’ni marta terish mumkin. Shunday qilib mumkin bo’lgan elementar natijalar soni n=90. Bulardan atigi bittasi B hodisaga qulaylik tug’diradi, ya’ni m=1.

Demak,

8-misol. Ikkita o’yin soqqasi tashlanganda, tushgan ochkolar yig’indisi 4 ga teng bo’lishi (A hodisa) hodisasining ehtimolligini toping.

Yechilishi. Jami elementar hodisalar soni n=6·6=36 (bir soqqada tushgan har bir ochko ikkinchi soqqadagi hamma ochkolar bilan birgalikda chiqishi mumkin).

Bulardan faqat uchtasi A hodisaga qulaylik tug’diradi: (1,3), (3,1), (2,2) (qavs ichida tushgan ochkolar soni ko’rsatilgan). Demak, izlanayotgan ehtimollik

9-misol. Ichida 12 ta oq va 8 ta qora shar bo’lgan qutidan tavakkaliga ikkita shar olinadi. Olingan ikkala shar ham qora bo’ishi ehtimolligi nimaga teng.

Yechilishi. Ikkita qora shar chiqish hodisasini A orqali belgilaymiz. Jami elementar hodisalar soni 20 dan ikkitadan tuzilgan guruhlashlar soniga teng:



A hodisaga qulaylik tug’diruvchi natijalar soni

Demak

10-misol (tanlama haqidagi masala). N ta detaldan iborat partiyada M ta yaroqsiz detal bor. Tavakkaliga n ta detal olinadi. Shu n ta detalning m tasi yaroqsiz detal bo’lib chiqishi ehtimolligini toping.

Yechilishi. Jami elementlar hodisalar soni N dan n tadan tuzilgan guruhlashlar soni ga teng. A orqali m tasi yaroqsiz bo’lgan n ta detalni olish hodisasini belgilaymiz. A hodisaning ro’y berishiga qulaylik tug’diradigan hodisalar soni ga teng, chunki m ta detaldan iborat yaroqsiz detallarni usul bilan, n-m ta detaldan iborat yaroqli detallarni usul bilan tanlash mumkin. Bunda yaroqli detallarning istalgan guruhi yaroqsiz detallarning istalgan guruhi bilan kombinatsiyada kelishi mumkin.

Demak,