79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

80.4. To’la ehtimollik va Beyes formulalari

1. To’la ehtimollik formulasi. Biror A hodisa n ta juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalarning to’liq guruhini tashkil etuvchi H₁, H₂,…, H_n hodisalarning (ular gipotezalar deb ataladi) bittasi va faqat bittasi bilangina ro’y berishi mumkin bo’lsin. Bu gipotezalaning ehtimolliklari ma’lum, ya’ni P(H₁), P(H₂)…, P(H_n) berilgan. Bu gepotezalarning har biri amalga oshganda A hodisaning ro’y berish shartli ehtimolliklari ham ma’lum, ya’ni P(A׀H₁), P(A׀H₂)…, P(A׀H_n) berilgan. A hodisaning ehtimolligini hisoblash talab qilinadi.

H₁,H₂,…,H_n hodisalar to’liq guruhni tashkil etganligi uchun

A=AU=A(H₁+H₂+…+H_n)=AH₁+AH₂+…+AH_n. Shartga ko’ra H₁,H₂,…,H_n gipotezalar birgalikda emas, shuning uchun AH₁,AH₂,…,AH_n hodisalar ham birlikda bo’lmaydi. Bularga avval birgalikda bo’lmagan hodisalar ehtimolliklarni qo’shish teoremasini, keyin 80.4-teoremani qo’llab, quyidagini hosil qilamiz:

P(A)=P(AH₁)+P(AH₂)+…+P(AH_n)=P(H₁)·P(A׀H₁)+P(H₂)·P(A׀H₂)+…+ +P(H_n)·P(A׀H_n).

Demak,

P(A)= . (80.11)

Bu formula to’la ehtimollik formulasi deyiladi.

12-misol. Yakuniy nazorat variantlari orasida talaba bilmaydiganlari ham bor. Qaysi holda talaba uchun u biladigan variantni olish ehtimolligi katta bo’ladi: u variantni birinchi bo’lib olgandami yoki ikkinchi bo’lib olgandami?

Yechilishi. n-barcha variantlar soni va k-talaba biladigan variantlar soni bo’lsin. A orqali talaba o’zi biladigan variantni olish hodisasini belgilaymiz. Agar talaba variantni birinchi bo’lib oladigan bo’lsa, u holda bizni qiziqtirayotgan ehtimollik P(A)= ga teng

Agar “bizning” talabamiz variantni ikkinchi bo’lib oladigan bo’lsa, bu yerda tabiiy ushbu ikkita gipotezalar o’rinli:

H₁- birinchi talaba “bizning” talaba biladigan variantni oldi.

H₂- birinchi talaba “bizning” talaba bilmaydigan variantni oldi.

Bu gipotezalarning ehtimolliklari

va A hodisaning shartli ehtimolliklari

bo’ladi.

(80.11) formulaga asosan A hodisaning to’la ehtimolligini topamiz:

P(A)=P(H₁) +P(H₂) =

Shunday qilib, bizni qiziqtirayotgan ehtimollik ikkila holda ham bir xil ekan.

13-misol. Omborga uchta stanokda tayyorlangan detallar keltirildi. Birinchi stanokda detallar umumiy miqdorining 40%i, ikkinchi stanokda 35%i va uchinchi stanokda 25%i tayyorlangan. Bunda birinchi stanokda 90%, ikkinchi stanokda 80% va uchinchi stanokda 70% birinchi nav detal tayyorlangan. Tavakkaliga olingan detal birinchi nav detal bo’lish ehtimolligini toping.

Yechilishi. Tavakkaliga olingan detal uchun quyidagi gipotezalar o’rinli:

H₁-detal birinchi stanokda tayyorlangan;

H₂-detal ikkinchi stanokda tayyorlangan;

H₃-detal uchinchi stanokda tayyorlangan.

A hodisa-detal birinchi navli detal bo’lish hodisasi bo’lsin. Masala shartidan; P(H₁)=0,4, P(H₂)=0,35, P(H₃)=0,25, P(A׀H₁)=0,9, P(A׀H₂)=0,8, P(A׀H₃)=0,7.

U holda (80.11)ga binoan:

P(A)= P(H₁) ·P(A׀H₁)+ P(H₂) ·P(A׀H₂)+ P(H₃) ·P(A׀H₃)=

=0,4·0,9+0,35·0,8+0,25·0,7=0,815.

14-misol. Omborga 360 ta mahsulot keltrildi. Bulardan: 300 tasi bir korxonada tayyorlangan bo’lib, ulardan 250 tasi yaroqli mahsulot. 40 tasi ikkinchi korxonada tayyorlangan mahsulot bo’lib, ulardan 30 tasi yaroqli mahsulot. 20 tasi uchinchi korxonada tayyorlagan bo’lib, ulardan 10 tasi yaroqli mahsulot. Ombordan tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli bo’lish ehtimolligini toping.

Yechilishi. Tavakkaliga olingan mahsulot uchun quyidagi gipotezalar o’rinli bo’ladi.

H₁- mahsulot birinchi korxonada tayyorlangan;

H₂- mahsulot ikkinchi korxonada tayyorlangan;

H₃- mahsulot uchinchi korxonada tayyorlangan.

Bu gipotezalar quyidagi ehtimolliklarga ega.

P(H₁)= P(H₂)= P(H₃)=

Agar olingan mahsulotning yaroqli bo’lishini A hodisa deb belgilasak u quyidagi shartli ehtimollilarga ega bo’ladi:

= = =

Shunday qilib

P(A)= P(H₁) + P(H₂) +P(H₃) = .

Bu masalani klassik ta’rifdan foydalanib osongina yechish ham mumkin edi. Omborda jami 360 ta detal bo’lib ulardan 250+30+10=290 tasi yaroqli. Yaroqlilar sonini jami detallar soniga bo’lsak

bo'ladi.