79-ma’ruza. Mavzu: Ehtimolliklar nazariyasining asosiy tushunchalari Reja

15-misol. 10-misolda tavakkaliga olingan mahsulotning yaroqli ekanligi ma’lum bo’lsa, uning birinchi korxonada tayyorlangan bo’lish ehtimolligini toping.

Yechilishi. Misolda P(H₁׀A) shartli ehtimollikni topish talab qilinmoqda. Buni Beyes formulasi (80.12)dan foydalanib topamiz:



P(A)= , P(H₁)= va bo’lganligidan izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng.



16-misol. Televizorga o’rnatilgan lampa ikkita partiyalardan biriga p₁=0,4 va p₂=0,6 ehtimollik bilan tegishli bo’lsin. Lampaning t soat davomida ishlash vaqti bu partiyalar uchun mos ravishda 0,9 va 0,7 ga teng. Televizorga o’rnatilgan lampa t soat buzilmasdan ishlagan bo’lsa, uning birinchi partiyaga tegishli bo’lish ehtimolligini toping.

Yechilishi. Ikkita gipotezani qaraymiz:

H₁-lampa birinchi partiyaga tegishli;

H₂-lampa ikkinchi partiyaga tegishli;

Tajribadan oldin bu gipotezalarning ehtimolliklari:

P(H₁)=0,4, P(H₂)=0,6.

Tajriba natijasida A hodisa ro’y bergan –lampa t soat buzilmasdan ishlagan. A hodisaning H₁ va H₂ gipotezadagi shartli ehtimolliklari quyidagiga teng:

P(A׀ H₁)=0,9; P(A׀ H₂)=0,7.

(80.12) formuladan H₁ gipotezaning tajribadan keyingi ehtimolligini topamiz:

17-misol. Zavod sexida tayyorlangan detallar ularning standartligini tekshirish uchun ikki nazoratchidan biriga tushadi. Detalning birinchi nazoratchiga tushish ehtimolligi 0,6 ga, ikkinchisiga tushishi ehtimolligi 0,4 ga teng. Yaroqli detalni standart deb tan olish ehtimolligi birinchi nazoratchi uchun 0,94 ga, ikkinchisi uchun 0,98 ga teng. Tekshirish vaqtida yaroqli detal standart deb qabul qilindi. Shu detalni birinchi nazoratchi tekshirganlik ehtimolligini toping.

Yechilishi. A orqali yaroqli detal standart deb qabul qilinganlik hodisasini belgilaymiz. Ikki xil taxmin (gipoteza) qilish mumkin:

H₁-detalni birinchi nazoratchi tekshirgan;

H₂-detalni ikkinchi nazoratchi tekshirgan.

Izlanayotgan ehtimollikni, ya’ni detalni birinchi nazoratchi tekshirganligi ehtimolligini Beyes formulasi(80.12) dan foydalanib topamiz:

Masala shartiga ko’ra: P(H₁)=0,6, P(H₂)=0,4, P(A׀H₁)=0,94, P(A׀H₂)=0,98.

Demak

Ko’rinib turibdiki, sinashgacha H₁ gipotezaning ehtimolligi 0,6 ga teng edi, sinash natijasi ma’lum bo’lgandan so’ng esa shu gipotezaning ehtimolligi o’zgardi va 0,59 ga teng bo’ldi. Shunday qilib, Beyes formulasi qaralayotgan gipotezaning ehtimolligini qayta baholashga imkon berdi.

18-misol. Ikki mergan nishonga bittadan o’q uzadi. Birinchi merganning o’qi nishonga 0,8 ehtimol bilan, ikkinchi merganniki esa 0,4 ehtimollik bilan tegadi. O’q uzulgandan so’ng nishonga bitta o’q tekkanligi (A hodisa) ma’lum bo’ldi, bu o’qni birinchi mergan uzgan bo’lishi ehtimolligini toping.

Yechilishi. Tajriba o’tkazishdan oldin quyidagi gipotezalar o’rinli:

H₁-birinchi mergan otgan o’q ham, ikkinchi mergan otgan o’q ham nishonga tegmaydi;

H₂-ikkala mergan otgan o’q ham nishonga tegadi;

H₃-birinchi mergan otgan o’q nishonga tegadi, ikkinchisiniki esa tegmaydi;

H₄-birinchi mergan otgan o’q nishonga tegmaydi, ikkinchisiniki esa tegadi.

Gipotezalardan bittasi va faqat bittasi tajriba natijasida albatta ro’y beradi, ya’ni H₁, H₂, H₃, H₄ lar bog’liq bo’lmagan hodisalarning to’liq guruhini tashkil etadi.

Bu gipotezalarning tajribadan oldingi ehtimolliklari:

P(H₁)=(1-0,8)·(1-0,4)=0,12, P(H₂)=0,8·0,4=0,32,

P(H₃)=0,8·(1-0,4)=0,48, P(H₄)=(1-0,8)·0,4=0,08.

Bu gipotezalarda kuzatilayotgan A hodisaning shartli ehtimolligi quyidagilarga teng: P(A׀H₁)=0, P(A׀H₂)=0, P(A׀H₃)=1, P(A׀H₄)=1.

Tajribasidan so’ng (A hodisa ro’y bergandan keyin) H₁ va H₂ gipotezalarning ro’y bermasligi ma’lum bo’ladi.

H₃ va H₄ gipotezalarning tajribadan keying ehtimolliklari Beyes formulasiga ko’ra quyidagicha:

Demak, nishonga tekkan o’qning birinchi merganga tegishli bo’lish ehtimolligi ekan.