72-ma’ruza Furye qatori tushunchasi 10. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar

4⁰. Furye qatorining yaqinlashuvchiligi. Endi funksiya Furye qatorining yaqinlashishi haqidagi teoremani keltiramiz.

Agar har bir da funksiya differensiallanuvchi bо‘lib, nuqtalarda chekli о‘ng

,

va chap

hosilalarga ega bо‘lsa, funksiya da bо‘lakli-diffe-rensiallanuvchi deyiladi.

2-teorema. davrli funksiya oraliqda bо‘lakli-differensiallanuvchi bо‘lsa, u holda bu funksiya-ning Furye qatori



da yaqinlashuvchi bо‘lib, uning yig‘indisi

ga teng bо‘ladi.

◄ (5) tenglikning har ikki tomonini

ga kо‘paytirib, ushbu

ayirmani quyidagicha

yozib olamiz. Bu tenglikning о‘ng tomonidagi integralni ikkita

integrallarga ajratamiz. Natijada

bо‘ladi.

Endi va integrallarni baholaymiz. integralni baholash uchun avvalo ixtiyoriy sonni olib, ni ikki qismga ajratib yozamiz:

(8)

Lokallashtirish prinsipiga asosan

.

Demak,

da

(9)

bо‘ladi. Shartga kо‘ra funksiya da bо‘lakli-dif-ferensiallanuvchi. Unda da

mavjud bо‘lib, da

tengsizlik о‘rinli bо‘ladi.

Shuningdek, da

tengsizlik bajariladi.

Endi deb olamiz. Natijada, uchun (8) tenglikning о‘ng tomonidagi birinchi integral uchun ushbu

(10)

bahoga ega bо‘lamiz.

(8), (9) va (10) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi.

integral ham xuddi shunga о‘xshash baholanadi va

bо‘lishi topiladi.

Demak,

bо‘lib, undan

bо‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning Furye qatorining yaqinlashuvchiligi va

bо‘lishini bildiradi.►

Natija. Agar funksiya yuqoridagi teoremaning shartlarini bajarib, nuqtada uzluksiz bо‘lsa, u holda

bо‘ladi.

Misol. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin va uni yaqinlashishga tekshirilsin.

◄ Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topamiz. Qaralayotgan funksiya juft bо‘lgani uchun

bо‘lib,

bо‘ladi. Demak,

.

Agar funksiya teoremaning hamda natijani shartlarini bajarishini e’tiborga olsak, unda

bо‘lishini topamiz.►

Keyingi tenglikda deyilsa,

(11)

bо‘lishi kelib chiqadi.

Mashqlar
1. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin va uni yaqinlashishga tekshirilsin.

2. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin va uni yaqinlashishga tekshirilsin.