72-ma’ruza Furye qatori tushunchasi 10. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar

72-ma’ruza

Furye qatori tushunchasi
1⁰. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar. funksiya tо‘plamda berilgan bо‘lsin. Ma’lumki, shunday son topilsaki, da

tenglik bajarilsa, davriy funksiya, son esa uning davri deyilar edi.

Agar davriy funksiya bо‘lib, son uning davri bо‘lsa, sonlar ham shu funksiyaning davri bо‘ladi.

Agar va davriy funksiyalar bо‘lib, ularning davri bо‘lsa,

funksiyalar ham davriy bо‘lib, ularning davri ga teng bо‘ladi.

Aytaylik, davriy funksiya bо‘lib, uning davri bо‘lsin. Agar bu funksiya grafigini tasviri oraliqda ma’lum bо‘lsa, uni birin – ketin

vertikal tо‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik kо‘chirish natijasida ning dagi grafigi hosil bо‘ladi (30- chizma):

30-chizma

Bu jarayonni da berilgan funksiyani ga davriy davom ettirish ham deb yuritiladi.

Shuni ta’kidlash lozimki, davrli funksiya da uzluksiz bо‘lsa, uni ga davriy davom ettirishdan hosil bо‘lgan funksiya (uni ham deymiz) da uzluksiz yoki bо‘lakli uzluksiz (ya’ni nuqtalarda uzilishga ega bо‘lib, boshqa barcha nuqtalarda uzluksiz) bо‘lishi mumkin.

Masalan, da berilgan

funksiyani ga davriy davom ettirishdan hosil bо‘lgan funksiya da uzluksiz bо‘ladi (31-chizma):

-2 -1 0 1 2

31-chizma

da berilgan

funksiyani da davriy davom ettirishdan hosil bо‘lgan funksiya da bо‘lakli uzluksiz bо‘ladi (32- chizma):

-3 3
32-chizma

Lemma. Agar davriy funksiya, uning davri bо‘lib, da integrallanuvchi bо‘lsa, u holda

bо‘ladi.

◄ Aniq integral xossasidan foydalanib topamiz:

. (1)

Bu tenglikdagi

integralda almashtirish bajaramiz. Natijada

(2)

bо‘ladi. (1) va (2) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi.►