72-ma’ruza Furye qatori tushunchasi 10. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar

2⁰. Garmonikalar. Ushbu

(3)

funksiyani qaraylik, bunda – haqiqiy sonlar. Bu davriy funksiya bо‘lib, uning davri

ga teng bо‘ladi.

◄ Haqiqatan ham,

.►

Odatda, (3) funksiya garmonika deyiladi. Garmonika-ning grafigi funksiya grafigini va о‘qlar bо‘yicha siqish (chо‘zish) hamda о‘qi bо‘yicha surish natija-sida hosil bо‘ladi.

Garmonikani quyidagicha ham yozish mumkin:

bunda

.

Aksincha,

funksiya garmonikani ifodalaydi:

bunda,

3⁰. Furye qatorining ta’rifi. Har bir hadi

garmonikadan iborat ushbu

(4)

funksional qator trigonometrik qator deyiladi. Bunda

sonlar trigonometrik qatorning koeffitsiyentlari deyiladi.

Odatda, (4) trigonometrik qatorning qismiy yig‘indisi

trigonometrik kо‘phad deyiladi.

Aytaylik, funksiya da berilgan bо‘lib, u shu oraliqda integrallanuvchi bо‘lsin.

Ravshanki,

funksiyalar ham integrallanuvchi bо‘ladi. Yuqorida keltirilgan funksiyalarning integrallarini quyidagicha belgilaymiz:

(5)

Sо‘ng ushbu

(6)

trigonometrik qatorni tuzamiz.

Ravshanki, (6) trigonometrik qator (5) munosabatlardan topiladigan

sonlar bilan tо‘la aniqlanadi.

1-ta’rif. Koeffitsiyentlari (5) munosabatlar bilan aniqlangan (6) trigonometrik qator funksiyaning Furye qatori deyiladi. Bunda

sonlar funksiyaning Furye koeffitsiyentlari deyiladi.

Demak, funksiyaning Furye qatori shunday trigonometrik qatorki, uning koeffitsiyentlari (5) formulalar yordamida aniqlanadi. Shuni e’tiborga olib, funksiyaning Furye qatori quyidagicha yoziladi:

.

1-misol. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin.

◄ (5) formulalardan foydalanib, berilgan funksiya-ning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:

Demak,

funksiyaning Furye qatori

bо‘ladi.►

Aytaylik, ushbu shartlar bajarilsin:

1) quyidagi

(7)

trigonometrik qator da yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ga teng:

, (8)

2) (8) ni hamda uni va larga kо‘paytirishdan hosil bо‘lgan

qatorlar da hadlab integrallansin. U holda

sonlar funksiyaning Furye koeffitsiyentlari bо‘ladi, (7) trigonometrik qator esa funksiyaning Furye qatori bо‘ladi.

Bu tasdiqning isboti quyidagi

integrallarni hisoblashdan kelib chiqadi.

4⁰. Juft va toq funksiyalarning Furye qatori. Faraz qilaylik, funksiya da berilgan juft funksiya bо‘lib, u shu oraliqda integrallanuvchi bо‘lsin. Bu funksiya-ning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:

Demak, juft funksiyaning Furye koeffitsiyent-lari

bо‘lib, Furye qatori

bо‘ladi.

Aytaylik, funksiya da berilgan toq funksiya bо‘lib, u shu oraliqda integarallanuvchi bо‘lsin. Bu funksiya-ning Furye koeffitsiyentlarini topamiz:

Demak, toq funksiyaning Furye koeffitsiyentlari

bо‘lib, Furye qatori

bо‘ladi.

2-misol. Ushbu

juft funksiyaning Furye qatori topilsin.

◄ Avvalo berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyent-larini topamiz:

Demak, funksiyaning Furye qatori

bо‘ladi. ►

3-misol. Ushbu

toq funksiyaning Furye qatori topilsin.

◄ Berilgan funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini hisoblaymiz:

.

Demak, funksiyaning Furye qatori

bо‘ladi.►