72-ma’ruza Furye qatori tushunchasi 10. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar

73-ma’ruza

Furye qatorining yaqinlashuvchiligi
1⁰. Lemmalar. Furye qatorining yaqinlashishini isbot-lashda muhim bо‘lgan lemmalarni keltiramiz.

1-lemma. Agar funksiya da integrallanuvchi bо‘lsa,

bо‘ladi.

◄ Ravshanki, lemmaning shartidan

funksiyalar da integrallanuvchi bо‘ladi. segmentda

nuqtalarni olib,

ni quyidagicha yozib olamiz

(1)

bunda,

.

Bu (1) tenglikning о‘ng tomonidagi integrallarni baholay-miz:

bunda – funksiyaning dagi tebranishi, .

Modomiki, funksiya da integrallanuvchi ekan, unda

(2)

qilib olinishi mumkin.

Endi (1) tenglikning о‘ng tomonidagi ikkinchi integral-ni baholaymiz:



.

Ravshanki, ni yetarlicha katta qilib olish hisobiga

(3)

ga erishish mumkin.

Natijada (1) , (2) va (3) munosabatlardan

bо‘lishi va undan

bо‘lishi kelib chiqadi.

Xuddi shunga о‘xshash

isbotlanadi.►

Agar oraliqni shunday

bо‘laklarga ajratish mumkin bо‘lsaki, har bir da funksiya uzluksiz bо‘lib, nuqtalar-da chekli о‘ng

,

va chap

limitlarga ega bо‘lsa, funksiya da bо‘lakli-uzluksiz deyiladi.

Yuqoridagi lemma funksiya da bо‘lakli uzluksiz funksiya bо‘lgan holda ham о‘rinli bо‘ladi.

1-lemmadan quyidagi natija kelib chiqadi.

Natija. Agar funksiya oraliqda bо‘lakli uzluksiz bо‘lsa, uning Furye koeffitsiyentlari da nolga intiladi:



2-lemma. Ushbu

tenglik о‘rinli.

◄ Ravshanki

bо‘ladi.

Agar

bо‘lishini e’tiborga olsak, unda yuqoridagi tenglikdan

tenglikning kelib chiqishini topamiz.►