72-ma’ruza Furye qatori tushunchasi 10. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar

2⁰. Furye qatorining qismiy yig‘indisi. Dirixle integrali. Funksional qatorlar nazariyasidan ma’lumki, qatorning yaqinlashishini aniqlashda avvalo uning qismiy yig‘indisi topilib, sо‘ng bu qismiy yig‘indining limiti о‘rganilar edi.

Funksiyaning Furye qatorining yaqinlashishini aniq-lashda ham avvalo uning qismiy yig‘indisi topiladi.

Aytaylik, funksiya oraliqda integrallanuv-chi bо‘lsin. Bu funksiyaning Furye koeffitsiyentlarini topib, uning Furye qatorini tuzamiz:

Ravshanki, bu qatorning qismiy yig‘indisi

bо‘ladi.

Bu tenglikdagi va larning о‘rniga ularning yuqorida keltirilgan ifodalarni qо‘yib topamiz:

Ma’lumki, 2–lemmaga kо‘ra

bо‘ladi. Unda yig‘indi quyidagi kо‘rinishga keladi:

. (4)

Odatda, (4) tenglikning о‘ng tomondagi integral funksiyaning Dirixle integrali deyiladi.

yig‘indining bu ifodasini yanada о‘zgartirib, da ning limitini topishga qulaylik keltiradi-gan kо‘rinishga olib kelamiz.

Avvalo (4) integralda almashtirishni bajaramiz. Bunda, integral ostidagi funksiya davrli bо‘lganligi sababli integrallash chegarasining о‘zgarmay qolishini e’tiborga olib topamiz:

.

Bu tenglikni ushbu

ikki qismga ajratib, о‘ng tomondagi birinchi integralda ni ga almashtirib topamiz:

Xususan, bо‘lganda

bо‘lib, u 1 ga teng bо‘ladi.

Haqiqatan ham, 2–lemmadan foydalansak, unda

bо‘lishi kelib chiqadi. Demak,

. (5)