72-ma’ruza Furye qatori tushunchasi 10. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar

5⁰. oraliqdagi berilgan funksiyaning Furye qatori. Faraz qilaylik, funksiya oraliqda berilgan bо‘lib, u shu oraliqda integrallanuvchi bо‘lsin.
Ravshanki, ushbu

almashtirish natijasida oraliq oraliqqa о‘tadi. Agar

deyilsa, funksiya oraliqda berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi funksiya bо‘ladi. Uning Furye qatori

bо‘lib,

bо‘ladi. Endi

bо‘lishini e’tiborga olib topamiz:

Natijada berilgan funksiyaning Furye qatorini quyidagicha

bо‘lib, bunda

bо‘ladi.
4-misol. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin.
◄ Yuqoridagi formulalardan foydalanib, funksiyaning Furye koeffitsiyentilarini topamiz:

Demak,

funksiyaning Furye qatori

bо‘ladi.►


Mashqlar

1. Ushbu

garmonikaning grafigi topilsin.
2. Ushbu

funksiyaning Furye qatori topilsin.
73-ma’ruza
Furye qatorining yaqinlashuvchiligi


1⁰. Lemmalar. Furye qatorining yaqinlashishini isbot-lashda muhim bо‘lgan lemmalarni keltiramiz.
1-lemma. Agar funksiya da integrallanuvchi bо‘lsa,

bо‘ladi.
◄ Ravshanki, lemmaning shartidan

funksiyalar da integrallanuvchi bо‘ladi. segmentda

nuqtalarni olib,

ni quyidagicha yozib olamiz

(1)
bunda,
.
Bu (1) tenglikning о‘ng tomonidagi integrallarni baholay-miz:

bunda – funksiyaning dagi tebranishi, .
Modomiki, funksiya da integrallanuvchi ekan, unda
(2)
qilib olinishi mumkin.
Endi (1) tenglikning о‘ng tomonidagi ikkinchi integral-ni baholaymiz:

.
Ravshanki, ni yetarlicha katta qilib olish hisobiga
(3)
ga erishish mumkin.
Natijada (1) , (2) va (3) munosabatlardan

bо‘lishi va undan

bо‘lishi kelib chiqadi.
Xuddi shunga о‘xshash

isbotlanadi.►
Agar oraliqni shunday

bо‘laklarga ajratish mumkin bо‘lsaki, har bir da funksiya uzluksiz bо‘lib, nuqtalar-da chekli о‘ng
,
va chap

limitlarga ega bо‘lsa, funksiya da bо‘lakli-uzluksiz deyiladi.
Yuqoridagi lemma funksiya da bо‘lakli uzluksiz funksiya bо‘lgan holda ham о‘rinli bо‘ladi.
1-lemmadan quyidagi natija kelib chiqadi.