72-ma’ruza Furye qatori tushunchasi 10. Davriy funksiyalar haqida ba’zi ma’lumotlar

3⁰. Lokallashtirish prinsipi. funksiya Furye qatorining qismiy yig‘indisi
6)
ning bitta muhim xossasini keltiramiz.
Ixtiyoriy sonni olib, (6) integralni ikkita integralga ajratamiz:
(7)
1-teorema. da ning limiti nolga teng bо‘ladi:
.
◄ funksiya da integrallanuvchi bо‘lganligi sababli

funksiya ham da integrallanuvchi bо‘ladi. Unda 1-lemmaga kо‘ra

bо‘ladi.►
(7) munosabat va keltirilgan teoremadan muhim natija kelib chiqadi:
ushbu

integralning dagi limiti mavjud bо‘lgandagina ning limiti mavjud va

munosabat о‘rinli bо‘ladi.
Ma’lumki, integralda funksiyaning oraliqdagi qiymatlarigina qatnashadi.
Demak, funksiya Furye qatorining nuqtada yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligi bu funksiyaning shu nuqta atrofi dagi qiymatlarigagina bog‘liq bо‘ladi. Buni lokallashtirish prinsipi deb yuritiladi.
4⁰. Furye qatorining yaqinlashuvchiligi. Endi funksiya Furye qatorining yaqinlashishi haqidagi teoremani keltiramiz.
Agar har bir da funksiya differensiallanuvchi bо‘lib, nuqtalarda chekli о‘ng
,
va chap

hosilalarga ega bо‘lsa, funksiya da bо‘lakli-diffe-rensiallanuvchi deyiladi.
2-teorema. davrli funksiya oraliqda bо‘lakli-differensiallanuvchi bо‘lsa, u holda bu funksiya-ning Furye qatori

da yaqinlashuvchi bо‘lib, uning yig‘indisi

ga teng bо‘ladi.
◄ (5) tenglikning har ikki tomonini

ga kо‘paytirib, ushbu

ayirmani quyidagicha

yozib olamiz. Bu tenglikning о‘ng tomonidagi integralni ikkita

integrallarga ajratamiz. Natijada

bо‘ladi.
Endi va integrallarni baholaymiz. integralni baholash uchun avvalo ixtiyoriy sonni olib, ni ikki qismga ajratib yozamiz:
(8)
Lokallashtirish prinsipiga asosan
.
Demak,
da
(9)
bо‘ladi. Shartga kо‘ra funksiya da bо‘lakli-dif-ferensiallanuvchi. Unda da

mavjud bо‘lib, da

tengsizlik о‘rinli bо‘ladi.
Shuningdek, da

tengsizlik bajariladi.
Endi deb olamiz. Natijada, uchun (8) tenglikning о‘ng tomonidagi birinchi integral uchun ushbu
(10)
bahoga ega bо‘lamiz.
(8), (9) va (10) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi.
integral ham xuddi shunga о‘xshash baholanadi va

bо‘lishi topiladi.
Demak,

bо‘lib, undan

bо‘lishi kelib chiqadi. Bu esa funksiyaning Furye qatorining yaqinlashuvchiligi va

bо‘lishini bildiradi.►