7-ma`ruza Uch karrali integral

7-ma`ruza
Uch karrali integral
Yuqorida Riman integrali tushunchasining ikki o’zgaruvchili funksiya uchun qanday kiritilishini ko’rdik va uni batafsil o’rgandik. Xuddi shunga o’xshash bu tushuncha uch o’zgaruvchili funksiya uchun ham kiritildi. Uni o’rganishda Riman integrali hamda ikki karrali integralda yuritilgan barcha mulohazalar (integrallash sohasining bo’laklanishini olish, bo’laklarda ixtiyoriy nuqta tanlab olib, integral yig’indi tuzish, tegishlicha limitga o’tish va hokazo) qaytariladi. Shuni e’tiborga olib, quyida uch karrali integral haqida faktlarni keltirish bilan chegaralanamiz.
1⁰. Uch karrali integral ta’rifi. funksiya fazodagi chegaralangan sohada berilgan bo’lsin. (Bu erda va kelgusida hamma vaqt funksiyaning berilish sohasi ni hajmga ega bo’lgan deb qaraymiz). sohaning bo’laklashini va bu bo’laklashning har bir bo’lagida ixtiyoriy nuqtani olaylik. So’ngra quyidagi

yig’indini tuzamiz, bunda ning hajmi.
Bu yig’indi funksiyaning integral yig’indisi yoki Riman yig’indisi deb ataladi.
Endi sohaning shunday

bo’laklanishlarini qaraymizki, ularning diametridan tashkil topgan

ketma-ketlik nolga intilsin: . Bunday bo’laklanishlarga nisbatan funksiyaning integral yig’indisini tuzamiz:

Natijada quyidagi

ketma-ketlik hosil bo’ladi. Bu ketma-ketlikning har bir hadi nuqtalarga bog’liq.
9-ta’rif. Agar ning har qanday bo’laklanishlar ketma-ketligi olinganda ham, unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat ketma-ketlik nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda hamma vaqt bitta songa intilsa, bu son yig’indining limiti deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
10-ta’rif. Agar da funksiyaning integral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa, funksiya da integrallanuvchi (Riman ma’nosida integrallanuvchi) funksiya deyiladi. Bu yig’indining chekli limiti esa funksiyaning bo’yicha uch karrali integrali (Riman integrali) deyiladi va u

kabi belgilanadi. Demak,
.
funksiya da berilgan bo’lib, u shu sohada chegaralangan bo’lsin:
.
sohaning bo’laklanishlar to’plami ning har bir bo’lak­la­nishiga nisbatan funksiyaning Darbu yig’indilari
,
ni tuzib, ushbu
,
to’plamlarni qaraylik. Ravshanki, bu to’plamlar chegaralangan bo’ladi.
11-ta’rif. to’plamning aniq yuqori chegarasi funksiyaning quyi uch karrali integrali deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
to’plamning aniq quyi chegarasi funksiyaning yuqori uch karrali integrali deb ataladi va u

kabi belgilanadi.
12-ta’rif. Agar funksiyaning quyi hamda yuqori uch kar­rali integrallari bir-biriga teng bo’lsa, funk­siya da integrallanuvchi deb ataladi va ularning umumiy qiy­mati

funksiyaning uch karrali integrali (Riman integrali) deyiladi.
.