7-bob. Differensial hisob

§ 7.2. Murakkab va oshkormas funksiyalarning hosilalari

3-qoida: u=f(u) murakkab funksiyada f(u) va u(x) funksiyalar argumentlari bo’yicha differensiallanuvchi bo’lsin. Bu holda u=f(u) murakkab funksiya x bo’yicha differensiallanuvchi bo’lib, uning hosilasi

formula bilan topiladi.

I s b o t : u(x) funksiya differensiallanuvchi bo’lganligidan uning uzluksizligi kelib chiqadi va shu sababli x0 bo’lganda u0 bo’ladi. Hosila ta’rifiga asosan

.

Masalan, (sinx²)= (i=x²) =(sin i)_x = cos i  i =2x cosx².

Bu qoidaning tadbiqi sifatida u=x^ darajali funksiyaning u hosilasini topamiz. Bu xolda

ln u = ln x^ =  ln x  (ln u)_x =( ln x)

4-qoida:. u = f (x) differensiallanuvchi va f (x)  0 bo’lsa, x=f^1(u) teskari funksiya ham differensiallanuvchi bo’ladi va uning hosilasi formula bo’yicha topiladi.

I s b o t : x=f ^-1(u) teskari funksiyaning argument orttirmasi u ≠0 bo’lgandagi orttirmasi x bo’lsin. Berilgan f(x) funksiya differensiallanuvchi bo’lgani uchun uzluksizdir va shu sababli unga teskari f^1(u) funksiya ham uzluksiz bo’ladi. Demak, u→0 bo’lganda x→0 bo’ladi. Bu holda, hosila ta’rifiga asosan,

x_u = .

Misol sifatida u=arcsinx funksiya hosilasini topamiz. Bu yerda

D{f}=[-1;1] , E{f}=[-π/2, π/2] bo’lgani uchun, x=siny teskari funksiyaning hosilasi u (-π/2 π/2), shartni qanoatlantiradi. Bu holda

(arcsin x)=

Ammo u(-π/2 π/2) bo’lganda cosy > 0 va

cosy , x(-1,1)

tenglik o’rinli. Bu natijani oldingi tenglikka qo’yib,

(arcsinx)=

formulani hosil qilamiz. Xuddi shunday usulda

(arcsos x)= - (arctg x)= (arcctg x)=

formulalarni hosil qilish mumkin.