7-bob. Differensial hisob

qoida: O’zgarmas S soning hosilasi nolga teng , ya’ni (S)=0.

I s b o t : O’zgarmas S sonni x argumentning har qanday qiymatida bir xil qiymat qabul qiluvchi f(x)=S funksiya deb qarash mumkin. Bu holda,

f= f(x+x)-f(x)=S-S=0, f/x=0,

.

2-qoida: u=u(x), v=v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, bu nuqtada u  v, uv va v(x)≠0 shartda u/v funksiyalar ham differensiallanuvchi bo’lib, ularni hisoblash uchun

(u  v)′= u′  v′ , (uv) ′= u′v + uv′ ,

formulalar o’rinli bo’ladi.

I s b o t : Funksiya orttirmasi ta’rifidan foydalanib, har qanday x argument orttirmasida (u  v) =u  v ekanligini ko’rsatish mumkin. Bu holda limit xossasi va hosila ta’rifiga asosan

Xuddi shunday,

(uv) = uv + uv + uv,

munosobatlardan foydalanib, 2-qoidadagi qolgan formulalarni ham isbotlash mumkin.

Natija 1: Funksiyaga ixtiyoriy S o’zgarmas sonni qo’shsak, uning hosilasi o’zgarmaydi.

Haqiqatdan ham (f(x)+S) =f΄(x)+S= f (x)+0= f (x).

Natija 2 : O’zgarmas S ko’paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.

Haqiqatdan ham, ko’paytmaning hosilasi formulasi va 1-qoidaga asosan

(S·f(x)΄=S·f'(x)+S·f (x)=0·f(x)+S·f (x)=S·f (x)

Natija 3 : (tgx)' =1/ cos²x , (ctgx)' = -1/ sin²x .

Haqiqatdan ham, bo’linmaning hosilasi formulasiga ko’ra

= .

Xuddi shunday ravishda (ctgx) hosila topiladi.

Shunday qilib, barcha asosiy elementar funksiyalar aniqlanish sohasida differensiallanuvchi va ularning hosilalari quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

1. 
   (x ^ )^=x^-1 , - ixtiyoriy haqiqiy son;
   
2. 
   (a^x)^= a^xlna , (e^x)^= e^x ; 3) (log , .
   

4) (sinx)’= cosx , (cosx)= - sinx , (tgx)' = (ctgx)

5. 
   (arcsinx)= - (arccosx) = (arctg x)= - (arcctg x)=
   

Bu hosilalar jadvalidan va ko’rib o’tilgan hosila olish qoidalaridan foydalanib, har qanday elementar funksiyaning hosilasini hisoblash mumkin.

I. (S)= 0 II. (u  v)′= u′  v′ , III. (uv) ′= u′v + uv′ ,

IV. V. [f(u)]= u_x VI.