7- mavzu 7-ma`ruza

1.4.4. Vektorlarning chiziqli bog‘liqligi

o‘lchovli fazoda vektorlar berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy sonlarni olib, vektorlardan
(1.4.1)
vektorni tuzamiz. Bunda vektorga vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi, sonlarga bu chiziqli kombinatsiyaning koeffitsiyentlari deyiladi.
4-ta’rif. Agar vektorlar uchun kamida bittasi nolga teng bo‘lmagan shunday sonlar topilsaki, bu sonlar uchun
(1.4.2)
tenglik bajarilsa, vektorlar sistemasiga chiziqli bog‘liq vektorlar deyiladi.
5-ta’rif. Agar (6.2) tenglik faqat bo‘lganda o‘rinli bo‘lsa, vektorlar sistemasiga chiziqli erkin vektorlar deyiladi.
1-teorema. vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun ulardan hech bo‘lmaganida bittasi qolganlarining chiiqli kombinatsiysidan iborat bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. Berilgan vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lsin. U holda (1.4.2) tenglik bajariladi, bunda sonlardan kamida bittasi nolga teng bo‘lmaydi. bo‘lsin deylik. U holda
,
ya’ni vektor qolgan vektorarning chiiqli kombinatsiyasidan iborat.
Etarliligi. Berilgan vektorlardan bittasi, masalan, qolganlarining chiiqli kombinatsiysidan iborat bo‘lsin:
.
Bundan

kelib chiqadi, ya’ni (1.4.2) tenglik da bajariladi. Demak, berilgan vektorlar
chiziqli bog‘liq.
5- ta’rifga ko‘ra bitta nol bo‘lmagan vektordan iborat sistema chiziqli erkin bo‘ladi, chunki tenglik faqat va faqat da bajariladi.
Demak, bitta vektordan iborat sistema faqat va faqat bo‘lganida chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
Tekislikdagi vektorlarning chiziqli bog‘liqligi va chiziqli erkinligi haqidagi masalani qaraymiz.
2-teorema. Ikkita va vektor chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun ular kollinear bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Zarurligi. va vektorlar kollinear bo‘lsin. U holda
bo‘ladi, bundan yoki . Demak, vektorlar chiziqli bog‘liq.
Yetarliligi. va vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lsin. U holda tenglik va sonlardan kamida bittasi, masalan, noldan farqli bo‘lganida bajariladi. Bundan yoki kelib chiqadi. Demak, vektorlar kollinear.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.