7- mavzu 7-ma`ruza

1- xossa. vеktоrning o‘qdagi prоyеksiyasi vеktоr mоdulining bu
vеktоr bilan o‘q оrasidagi burchak kоsinusiga ko‘paytmasiga tеng, ya’ni
.
Isboti. Agar vektor bilan o‘q orasidagi burchak o‘tkir bo‘lsa, tashkil etuvchisi va o‘q bir tomonga yo‘nalgan bo‘ladi (10-shakl).
U holda
Agar vektor bilan o‘q orasidagi burchak o‘tmas bo‘lsa,
tashkil etuvchisi va o‘q qarama-qarshi tomonga yo‘nalgan bo‘ladi (10-shakl).

U holda .

Agar bo‘lsa, u holda .
Bu xossadan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija. Vektorning o‘qdagi proeksiyasi:
1) vektor o‘q bilan o‘tkir burchak tashkil qilsa musbat bo‘ladi;
2) vektor o‘q bilan o‘tmas burchak tashkil qilsa manfiy bo‘ladi;
3) bu burchak to‘g‘ri bo‘lsa nolga teng bo‘ladi.
2-natija. Teng vektorlarning bitta o‘qdagi proeksiyalari teng boladi.
2-xossa. Bir nechta vektor yig‘indisining berilgan o‘qdagi proeksiyasi vektorlarning shu o‘qdagi proeksiyalari yig‘indisiga teng, masalan,
+ .
Isboti. bo‘lsin. U holda ya’ni
+ (11-shakl).
3- xossa. Vektor skalyar songa ko‘paytirilsa uning o‘qdagi proeksiyasi ham shu songa ko‘payadi, ya’ni
.
Isboti. Vektorning o‘qdagi prоyеksiyasining 1-xossasiga ko‘ra da
da
da
3-natija. Vektorlar chiziqli kombinatsiyasining o‘qdagi proeksiyasi bu vektorlar o‘qdagi proeksiyasilarining shu kabi chiziqli kombinatsiyasiga teng, masalan,
.


Misol
to‘g‘ri burchakli uchburchakda katetlar . uchburchak balandliklari bo‘ylab yo‘nalgan vektorlarning gipotenuza bo‘ylab yo‘nalgan o‘qdagi proeksiyalarini topamiz.
bo‘lsin deylik.
U holda

uchburchak balandliklari bo‘ylab yo‘nalgan vektorlar , , bo‘ladi (12-shakl). Bu vektorlarning o‘qdagi proeksiyalarini topamiz: