7- mavzu 7-ma`ruza

4-natija. Ikkita va vektor chiziqli erkin bo‘lishi uchun ular kollinear bo‘lmasligi zarur va yetarli.
3-teorema. Agar va biror tekislikning ikkita kollinear bo‘lmagan vektorlari bo‘lsa, u holda shu tekislikning istalgan uchinchi vektorini bu vektorlar bo‘yicha yagona ko‘rinishda yoyish mumkin, ya’ni
. (1.4.3)
I sboti. Bitta nuqtaga har uchala vektorni qo‘yamiz: (13-shakl). nuqtadan va vektorlarga parallel ikkita to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri chiziqlar bilan va vektorlar yotgan to‘g‘ri chiziqlarning kesishish nuqtalarini mos ravishda va bilan belgilaymiz.
Ikki vektor yig‘indisi ta’rifiga ko‘ra yoki ekani hisobga olinsa
. (1.4.4)
va vektorlr kolinear bo‘lgani uchun va shu kabi bo‘ladi. Bu ifodalarni (1.4.4) tenglikka qo‘yib, (1.43) tenglikni keltirib chiqaramiz.
(1.4.3) yoyilmaning va koeffitsiyentlari bir qiymatli aniqlanadi.
(1.4.5)
yoyilma mavjud bo‘lsin deb faraz qilamiz.
(1.4.5) tenglikni (1.4.3) tenglikdan hadma-had ayirib, topamiz:

Shartga ko‘ra va vektorlar kollinear emas. U holda 1-narijaga ko‘ra ular chiziqli erkin. Shu sababli oxirgi tenglik faqat , da bajariladi. Bundan
4-teorema. Tekislikdagi har qanday uchta vektor chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
Isboti. vektorlar orasida bir juft, masalan, va kollinear vektorlar bo‘lsin. U holda yoki bo‘ladi. Demak, vektorlar chiziqli bog‘liq.
vektorlar orasida hech bir jufti kollinear bo‘lmasin. U holda 4-teoremaga ko‘ra , ya’ni ular chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
2- va 4- teoremalardan quyidagi natija kelib chiqadi.
5-natija. Tekislikdagi chiziqli erkin vektorlarning maksimal soni ikkiga teng.
Tekislikdagi vektorlar uchun ko‘rsatilgandagi kabi fazodagi vektorlar uchun quyidagi xulosalarni ko‘rsatish mumkin.
1. Uchta vektor chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun ular komplanar bo‘lishi zarur va yetarli.
2. Uchta vektor chiziqli erkin bo‘lishi uchun ular komplanar bo‘lmasligi zarur va yetarli.
3. Agar , vektorlar komplanar bo‘lmasa, u holda istalgan vektor bu vektorlar bo‘yicha yagona ko‘rinishda yoyilishi mumkin, ya’ni
. (1.4.6)
4. Uch o‘lchovli fazodagi har qanday to‘rtta vektor chiziqli bog‘liq bo‘ladi.
5. Fazodagi chiziqli erkin vektorlarning maksimal soni uchga teng.
Misol
U chburchakli muntazam piramidada uchning qirralari, uchdan tushirilgan balandlik (14-shakl). Agar mos ravishda qirralar bo‘ylab yo‘nalgan vektorlar bo‘lsin. vektorning bazis bo‘yicha yoyilmasini topamiz.
Buning uchun vektorlarni songa ko‘paytirish amalining xossasiga asoslanamiz: bu yerda haqiqiy sonlar.
Piramidada qirralar komplanar emas. Shu sababli vektorni bazis bo‘yicha yoyish mumkin.
Piramida muntazam bo‘lgani uchun uning balandligi asosining medianalari kesishish nuqtasiga tushadi, ya’ni uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi bo‘ladi.
Vektorlarni qo‘shish qoidasiga ko‘ra Bunda

Demak,