6-mavzu: ikki tekislikning oʻzaro vaziyatlari ma’ruza mashgʻuloti rejasi

9.5 Proyeksiyalar tekisliklarining ikkitasini almashtirish.


Tayanch iboralar: aylantirish usuli, aylantirish tekisligi, aylantirish oʻqi, aylantirish radiusi. tekisliklarining bittasini almashtirish, tekisliklarining ikkitasini almashtirish.


9.1. Geometrik shaklni proyeksiyalar tekisligiga perpendikulyar
oʻq atrofida aylantirish usuli.


Nuqtani aylantirish. H va V tekisliklar sistemasida A nuqta va i aylantirish oʻqi berilgan (9.1–rasm, a).
B nuqtaning H tekislikka perpendikulyar i oʻqi atrofida aylantirilishi 9.2–rasm, a da koʻrsatilgan.

a)	b)
9.1-rasm

a)	b)
9.2-rasm		9.3-rasm

1–misol. Umumiy vaziyatdagi AB(A’Bʻ, A’ʻBʻʻ) kesmani V tekislikka parallel vaziyatga keltirilsin (9.3-rasm).
2–misol. AB(A’Bʻ, A’ʻBʻʻ) kesmani i^H oʻq atrofida a burchakka aylantirish talab qilinsin (9.4-rasm).
3–misol. Umumiy vaziyatda berilgan P tekislikni i^H oʻqi atrofida a burchakka aylantirilishi talab qilinadi (9.6-rasm).

9.4-rasm	9.5-rasm

4–misol. Umummiy vaziyatdagi P tekislikni frontal proyeksiyalovchi tekislik vaziyatiga keltirish talab etilsin (9.7–shakl).

9.6-rasm	9.7-rasm

5–misol. ∆ABC tekislikning H tekislik bilan tashkil etgan a burchagini aniqlash talab etiladi (9.8–rasm).

9.8-rasm

9.2. Geometrik shaklni proyeksiyalar tekisligiga parallel
oʻq atrofida aylantirish usuli
Geometrik shaklni uning gorizontali atrofida aylantirib, H tekislikka parallel vaziyatga, shuningdek, uni frontali atrofida aylantirib, V tekislikka parallel vaziyatga keltirish mumkin
(9.9–rasm).

a)	b)
9.9-rasm

1–misol. Umumiy vaziyatdagi ÐABC(ÐA’BʻCʻ, ÐA’ʻBʻʻCʻʻ)ning haqiqiy oʻlchami aniqlansin (9.10–rasm).

9.10-rasm
2–misol. 9.11,a–rasmda umumiy vaziyatdagi ∆ABC(A’BʻCʻ, A’ʻBʻʻCʻʻ) ning haqiqiy oʻlchamini aniqlash koʻrsatilgan. Chizmada bu masalani еchish uchun uchburchak gorizontalining hʻ va hʻʻ proyeksiyalari oʻtkaziladi.
∆ABC ning haqiqiy oʻlchami uchun uning A va B uchlarini aylantirish bilan aniqlanadi.

a)	b)	v)
9.11-rasm

9.3. Geometrik shaklni proyeksiyalar tekisliklariga tegishli oʻq atrofida aylantirish (tekislikning izi atrofida aylantirish-jipslashtirish) usuli

Aylantirish oʻqi sifatida umumiy vaziyatdagi tekislikning gorizontal yoki frontal izi qabul qilinadi (9.12–rasm). Bu tekislik biror izi atrofida aylantirilib, proyeksiyalar tekisliklarining biriga jipslashtiriladi.

Tekisliklarni proyeksiyalar tekisligiga jipslashtirish yoli bilan mazkur tekislikka tegishli boʻlgan geometrik shakllarning haqiqiy oʻlchamini aniqlash mumkin.

9.12-rasm

9.13-rasm, a da umumiy vaziyatdagi Q tekislikni Q_N gorizontal izi atrofida aylantirib, H tekislikka jipslashtirish koʻrsatilgan.

Xuddi shundan R(R_H, R_V) tekislikni V tekislikka ham jipslashtirish mumkin (9.14-rasm). Q(Q_N, Q_V) tekislikka tegishli ∆ABC(A’BʻCʻ, A’ʻBʻʻCʻʻ) ning (9.15-rasm) haqiqiy oʻlchami uning A, B va C nuqtalarini V tekislikka jipslashtirish bilan aniqlanadi.

a)		b)
9.13-rasm
9.14-rasm	9.15-rasm

Masalan, P tekilikning H tekislikka jipslashtirilgan vaziyati P_N, P_V, P_V1 izlari va uning ustida R radiusli aylana berilgan. Bu aylananing (9.16–rasm) P tekislikdagi proyeksiyalarini yasash.

9.16-rasm


9.4. Proyeksiyalar tekisliklarining bittasini almashtirish.

Fazodagi A nuqta, H va V proyeksiyalar tekisliklari berilgan boʻlsin (9.17–rasm, a). Agar V tekislikni V₁^H tekislik bilan almashtirsak, yangi proyeksiyalar tekisliklari tizimi hosil boʻladi. A nuqtaning V₁ tekislikdagi proyeksiyasi A’ʻ₁ topiladi.

a)	b)
9.17-rasm

Shuningdek, 9.18 a–rasmda H va V proyeksiyalar tekisliklari tizimida B nuqta Bʻ va Bʻʻ proyeksiyalari berilgan. Agar H tekislikni H₁^V tekislik bilan almashtirilsa, yangi tekisliklar tizimiga ega bolinadi.

a)	b)
9.18-rasm

5. 
   Proyeksiyalar tekisliklarining ikkitasini almashtirish
   

Ayrim geometrik masalalarni proyeksiyalar tekisliklarining ikkitasini almashtirish yoli bilan еchish mumkin. Bunday hollarda proyeksiyalar tekisliklarini masalada talab qilingan shartga muvofiq ravishda ketma-ket almashtiriladi (9.19–rasm).

9.20–rasmda B nuqtaning sistemani O₁X₁, va O₂X₂, sistemaga almashtirish natijasida yangi Bʻʻ₁ va Bʻ₁ proyeksiyalarni yasash koʻrsatilgan.
1–misol. Umumiy vaziyatda berilgan AB(AˈBˈ, AˈˈBˈˈ) kesmaning haqiqiy uzunligi aniqlash talab etilsin. (9.21-rasm).

9.19-rasm	9.20-rasm	9.21-rasm

2–misol. Umumiy vaziyatdagi P(P_N, P_V) tekislikni frontal proyeksiyalovchi tekislik vaziyatiga keltirish talab etiladi (9.22–rasm)
3–misol. AB(A’Bʻ, A’ʻBʻʻ) toʻgʻri chiziqning umumiy vaziyatdagi Q(Q_H, Q_V) tekislik bilan kesishish nuqtasi yasalsin (9.23–rasm).

9.22-rasm	9.23-rasm

Xuddi shu usul bilan AB(A’Bʻ, A’ʻBʻʻ) toʻgʻri chiziqning (9.24–rasm) ∆CDE(∆CʻDʻEʻ, ∆CʻʻDʻʻEʻʻ), bilan kesishish nuqtasining Fʻ va Fʻʻ proyeksiyalarini yasash.

9.24-rasm	9.25-rasm

4–misol. A(A’, A’ʻ) nuqtadan ∆BCD(∆BʻCʻDʻ, ∆BʻʻCʻʻDʻʻ) tekislikkacha boʻlgan masofani aniqlansin (9.25–rasm).
5–misol. ∆ABC(∆A’BʻCʻ, ∆A’ʻBʻʻCʻʻ) va ∆EFD(∆EʻFʻDʻ, ∆EʻʻFʻʻDʻʻ) tekisliklar kesishish chizigʻining proyeksiyalari va koʻrinishligi aniqlansin (9.26–rasm).
6–misol. ∆ABC(A’BʻCʻ, A’ʻBʻʻCʻʻ) va ∆ABD(A’BʻDʻ, A’ʻBʻʻDʻʻ) tekisliklari orasidagi ikki yoʻqli burchakning haqiqiy kattaligi topilsin (9.27–rasm).

9.26-rasm	9.27-rasm

7–misol. AB(A’Bʻ, A’ʻBʻʻ) va CD(CʻDʻ, CʻʻDʻʻ) uchrashmas toʻgʻri chiziq kesmalari orasidagi masofani aniqlash 9.28–rasmda koʻrsatilgan.

9.28-rasm	9.29-rasm

8–misol. 9.29–rasmda A(A’,A’ʻ) nuqtadan BC(BʻCʻ, BʻʻCʻʻ) kesmagacha boʻlgan masofa aniqlangan.
9–misol. 9.30–rasmda ∆CDE(∆CʻDʻEʻ, ∆CʻʻDʻʻEʻʻ) uchburchakning proyeksiyalariga asosan uning haqiqiy kattaligi aniqlangan.



9.30-rasm


Nazorat savollari

1. 
   Proyeksiyalar tekisliklarni almashtirish usulining mohiyati nimadan iborat?
   
2. 
   Kesmaning haqiqiy uzunligini va ogʻish burchaklarini yasash uchun proyeksiyalar tekisliklari qanday vaziyatda almashtiriladi?
   
3. 
   Umumiy vaziyatdagi toʻgʻri chiziqni proyeksiyalovchi nolga keltirish uchun proyeksiyalar tekisliklari qanday ketma-ketlikda va qanday vaziyatlarda almashtiriladi?
   
4. 
   Umumiy vaziyatdagi uchburchakning haqiqiy kattaligini yasash uchun proyeksiyalar tekisliklari qanday ketma-ketlikda va qanday vaziyatlarda almashtiriladi.
   

10-MAVZU: EGRI CHIZIQLAR VA SIRTLAR.


MA’RUZA MASHGʻULOTI REJASI:


10.1. Egri chiziqlar va ularning proeksion xossalari.
10.2. Sirtlar va ularning chizmada berilishi.
10.3. Aylanish sirtlari
10.4. Ikkinchi tartibli aylanish sirtlari.


Tayanch iboralar: egri chiziq, qonuniy (algebraik) egri chiziq, qonynsiz egri chiziq, tekis egri chiziq, fazoviy egri chiziq. Sirt, algebraik sirt, transsendent sirt, kinematik sirt yasovchi, yonaltiruvchi, sirtning karkasi, aylanish sirtlari, ikkinchi tartibli sirt, chiziqli sirt, vint sirt.


10.1. Egri chiziqlar va ularning proeksion xossalar

Egri chiziq fazoda yoki tekislikda mA’lum yoʻnalishda uzluksiz harakatlanuvchi biror nuqtaning trayektoriyasi sifatida qabul qilinadi.

Egri chiziqlar tekis (10.1,a-rasm) va fazoviy (10.1,b-rasm) egri chiziqlarga bolinadi.

a)	b)
10.1-rasm

Tekis egri chiziqlar.

Ta’rif. Hamma nuqtalari bitta tekislikda yotgan egri chiziq tekis egri chiziq deyiladi.

Tekis egri chiziqlar analitik va grafik koʻrinishlarda berilishi mumkin. 10.2-rasmda berilgan ℓ tekis egri chizigʻiga uning biror A nuqtasida urinma va normal oʻtkazish koʻrsatilgan.

BA’zan yarim urinmalar oʻzaro ustma-ust tushmasdan oʻzaro kesishishi mumkin. Bunday nuqtalar sinish nuqtasi deyiladi (10.3-rasm). Amaliyotda egri chiziqlarga urinma va normal oʻtkazish masalalari kop uchraydi, shuning uchun urinma va normal oʻtkazishning bA’zi bir grafik usullarini korib chiqamiz.